Der natürliche Logarithmus
Der Graph von eˣ erreicht die Höhe 6. Welcher Wert ist ln 6?
Erklärung: ln 6 ist der Exponent, mit dem e zur 6 wird: e^1,79 ≈ 6, also ln 6 ≈ 1,79. Die 0,17 ist der Kehrwert 1/6, die 403,43 ist e⁶ (hier wurde potenziert statt logarithmiert).
Der Graph von eˣ erreicht die Höhe 0,5. Also ist ln 0,5 negativ.
Erklärung: 0,5 < 1 = e⁰, also muss der Exponent negativ sein: ln 0,5 = −0,69. Der Graph erreicht die Höhe 0,5 links von der y-Achse.
Es gilt ln 5 = 1/5 = 0,2.
Erklärung: ln 5 ist der Exponent mit e^x = 5, also ln 5 ≈ 1,61 (denn e^1,61 ≈ 5). ln ist kein Kehrwert, auch wenn das Zeichen an ⁻¹ erinnert.
Welche Gleichung sagt dasselbe wie ln z = 3?
Erklärung: ln z = 3 heißt: Der Exponent, der aus e die Zahl z macht, ist 3. Also z = e³ ≈ 20,09. „3e“ multipliziert statt zu potenzieren, „3ᵉ“ vertauscht Basis und Exponent.
Berechne ln 20 (auf 0,01 genau).
Erklärung: e³ ≈ 20,09 liegt knapp über 20, also ist ln 20 knapp unter 3: ln 20 ≈ 2,9957.
Ein Bestand wächst nach N(t) = 100 · eᵗ (t in Tagen). Nach wie vielen Tagen ist N = 500? (auf 0,01 genau)
Erklärung: 100 · eᵗ = 500 ⇒ eᵗ = 5 ⇒ t = ln 5 ≈ 1,6094 ≈ 1,61 Tage.
Der Graph von eˣ geht durch den markierten Punkt (1 | e). Welche Aussage folgt?
Erklärung: e¹ = e heißt: Der Exponent, der aus e die Zahl e macht, ist 1. Also ln e = 1. „ln e = e“ verwechselt Exponent und Ergebnis, „ln e = 0“ gehört zu ln 1 (e⁰ = 1).
Der Graph von eˣ geht durch den markierten Punkt bei x = 0. Also ist ln 1 = 1.
Erklärung: e⁰ = 1 (der Punkt ist (0 | 1)). Der Exponent, der aus e die Zahl 1 macht, ist also 0: ln 1 = 0.
Welchen Wert hat e^(ln 7)?
Erklärung: e^(ln 7) hebt sich auf: ln 7 ist der Exponent, der e zu 7 macht, also ist e^(ln 7) = 7. Die 1,95 ist ln 7 selbst, „7e“ ein Produkt.
Ordne von klein nach groß: ln e, ln 1, ln(e²), ln(1/e)
Erklärung: ln(1/e) = ln(e⁻¹) = −1, ln 1 = 0, ln e = 1, ln(e²) = 2.
Ergänze: ln(e⁷) = ___
Erklärung: ln macht das Potenzieren mit e rückgängig: ln(e⁷) = 7.
Berechne ln(e⁵) + ln 1 − ln e.
Erklärung: ln(e⁵) = 5, ln 1 = 0, ln e = 1: 5 + 0 − 1 = 4.
Löse ln x = 2.
Erklärung: ln x = 2 heißt: e² = x, also x = e² ≈ 7,39. „2e“ multipliziert, „ln 2“ löst e^x = 2 statt ln x = 2.
Die gestrichelte Gerade steht bei x = 2. Die Gleichung ln x = 2 hat die Lösung x = e².
Erklärung: ln x = 2 ⇔ e² = x. Der Graph von eˣ erreicht bei x = 2 die Höhe e² ≈ 7,39; genau diese Zahl hat den Logarithmus 2.
Für welches x gilt ln x = 0?
Erklärung: ln x = 0 heißt e⁰ = x, also x = 1. Bei x = 0 ist ln gar nicht definiert (eˣ wird nie 0), x = e gehört zu ln x = 1.
Löse ln x = 3 (auf 0,01 genau).
Erklärung: x = e³ ≈ 20,0855.
Löse ln x + 3 = 5 (auf 0,01 genau).
Erklärung: Erst umformen: ln x = 2. Dann potenzieren: x = e² ≈ 7,3891.
Skizziere den Graphen von y = eˣ mit der Geraden y = 3 und markiere den Schnittpunkt. Erkläre, warum seine x-Koordinate ln 3 heißt, und bestimme ln 3 auf zwei Stellen genau. Löse dann e^(2x) = 3.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: ln 3 ist der Exponent, der aus e die Zahl 3 macht; bei e^(2x) = 3 steht 2x im Exponenten und wird erst danach durch 2 geteilt.