Der natürliche Logarithmus

The natural logarithm

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben

AnalysisNatürlicher LogarithmusLogarithmus

ln z ist der Exponent, mit dem e zur Zahl z wird: ln z = y bedeutet e^y = z, und zwar nur für z > 0. Daraus folgen die Sonderwerte ln 1 = 0 und ln e = 1, das gegenseitige Aufheben ln(eˣ) = x und e^(ln z) = z sowie die Lösung von ln x = c durch Potenzieren, x = e^c. Der Abschnitt räumt aus, ln z sei ein Kehrwert (ln 5 = 1/5), ln 1 sei 1 oder ln x = c werde mit x = c·e gelöst. Er bereitet den Graphen von ln, die Logarithmenregeln und die Ableitung vor.

Der fehlende Exponent

Die Gleichung $e^{x} = 5$ fragt nach dem Exponenten, mit dem e zur Zahl 5 wird. Diesen Exponenten nennt man den natürlichen Logarithmus von 5 und schreibt ln 5. Allgemein gilt für positive Zahlen z:

$y = ln z ⟺ e^{y} = z (z > 0)$

Es ist $ln 5 \approx 1, 61$ , denn $e^{1, 61} \approx 5$ . Im Graphen liest man ln z als die x-Stelle ab, an der eˣ die Höhe z erreicht. Vorsicht: ln ist kein Kehrwert. ln 5 ist nicht 1/5, auch wenn das Zeichen an ⁻¹ erinnert.

Aus der Einleitung: $N (t) = 100 \cdot e^{t}$ erreicht 500, wenn eᵗ = 5 ist, also nach t = ln 5 ≈ 1,61 Zeiteinheiten. Für z < 1 ist der Exponent negativ: ln 0,5 ≈ −0,69, weil e^(−0,69) ≈ 0,5 ist.

Verschiebe z. An welcher x-Stelle erreicht der Graph die Höhe z, und was steht dort für z < 1?

Sonderwerte und Aufheben

Aus $e^{0} = 1$ folgt $ln 1 = 0$ , aus $e^{1} = e$ folgt $ln e = 1$ , und allgemein ist $ln (e^{k}) = k$ . So ist ln(e³) = 3 und $ln (1/ e) = ln (e^{- 1}) = - 1$ . ln und e-Potenz heben einander auf:

$ln (e^{x}) = x f \overset{u}{¨} r alle x, e^{l n z} = z f \overset{u}{¨} r z > 0$

Deshalb löst man $ln x = c$ durch Potenzieren: $x = e^{c}$ . Aus ln x = 2 folgt $x = e^{2} \approx 7, 39$ , aus ln x = −1 folgt $x = 1/ e \approx 0, 37$ . Zu jeder Zahl c gibt es genau ein x, auch für negatives c. Nur ln(−3) oder ln 0 gibt es nicht, denn eˣ ist nie null und nie negativ.

Verschiebe t. Was passiert mit t, wenn du erst eᵗ bildest und dann ln nimmst?

Ermöglicht (2)

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Der Graph von eˣ erreicht die Höhe 6. Welcher Wert ist ln 6?

● 1,79
○ 0,17
○ 403,43

ln 6 ist der Exponent, mit dem e zur 6 wird: e^1,79 ≈ 6, also ln 6 ≈ 1,79. Die 0,17 ist der Kehrwert 1/6, die 403,43 ist e⁶ (hier wurde potenziert statt logarithmiert).

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Der Graph von eˣ erreicht die Höhe 0,5. Also ist ln 0,5 negativ.

✓ Wahr

0,5 < 1 = e⁰, also muss der Exponent negativ sein: ln 0,5 = −0,69. Der Graph erreicht die Höhe 0,5 links von der y-Achse.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Es gilt ln 5 = 1/5 = 0,2.

✓ Falsch

ln 5 ist der Exponent mit e^x = 5, also ln 5 ≈ 1,61 (denn e^1,61 ≈ 5). ln ist kein Kehrwert, auch wenn das Zeichen an ⁻¹ erinnert.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Welche Gleichung sagt dasselbe wie ln z = 3?

● z = e³
○ z = 3e
○ z = 3ᵉ

ln z = 3 heißt: Der Exponent, der aus e die Zahl z macht, ist 3. Also z = e³ ≈ 20,09. „3e“ multipliziert statt zu potenzieren, „3ᵉ“ vertauscht Basis und Exponent.

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Der Graph von eˣ geht durch den markierten Punkt (1 | e). Welche Aussage folgt?

● ln e = 1
○ ln e = e
○ ln e = 0

e¹ = e heißt: Der Exponent, der aus e die Zahl e macht, ist 1. Also ln e = 1. „ln e = e“ verwechselt Exponent und Ergebnis, „ln e = 0“ gehört zu ln 1 (e⁰ = 1).

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Der Graph von eˣ geht durch den markierten Punkt bei x = 0. Also ist ln 1 = 1.

✓ Falsch

e⁰ = 1 (der Punkt ist (0 | 1)). Der Exponent, der aus e die Zahl 1 macht, ist also 0: ln 1 = 0.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Welchen Wert hat e^(ln 7)?

● 7
○ 1,95
○ 7e

e^(ln 7) hebt sich auf: ln 7 ist der Exponent, der e zu 7 macht, also ist e^(ln 7) = 7. Die 1,95 ist ln 7 selbst, „7e“ ein Produkt.

Sortieren #8 30s ▶ Testen

Ordne von klein nach groß: ln e, ln 1, ln(e²), ln(1/e)

✓ Antwort: ln(1/e),ln 1,ln e,ln(e²)

ln(1/e) = ln(e⁻¹) = −1, ln 1 = 0, ln e = 1, ln(e²) = 2.

Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Löse ln x = 2.

● x = e² ≈ 7,39
○ x = 2e ≈ 5,44
○ x = ln 2 ≈ 0,69

ln x = 2 heißt: e² = x, also x = e² ≈ 7,39. „2e“ multipliziert, „ln 2“ löst e^x = 2 statt ln x = 2.

Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Die gestrichelte Gerade steht bei x = 2. Die Gleichung ln x = 2 hat die Lösung x = e².

✓ Wahr

ln x = 2 ⇔ e² = x. Der Graph von eˣ erreicht bei x = 2 die Höhe e² ≈ 7,39; genau diese Zahl hat den Logarithmus 2.

Multiple Choice #11 25s ▶ Testen

Für welches x gilt ln x = 0?

● x = 1
○ x = 0
○ x = e

ln x = 0 heißt e⁰ = x, also x = 1. Bei x = 0 ist ln gar nicht definiert (eˣ wird nie 0), x = e gehört zu ln x = 1.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne ln 20 (auf 0,01 genau).

✓ Antwort: 2.9957

e³ ≈ 20,09 liegt knapp über 20, also ist ln 20 knapp unter 3: ln 20 ≈ 2,9957.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Ergänze: ln(e⁷) = ___

✓ Antwort: 7

ln macht das Potenzieren mit e rückgängig: ln(e⁷) = 7.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Löse ln x = 3 (auf 0,01 genau).

✓ Antwort: 20.0855

x = e³ ≈ 20,0855.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Bestand wächst nach N(t) = 100 · eᵗ (t in Tagen). Nach wie vielen Tagen ist N = 500? (auf 0,01 genau)

✓ Antwort: 1.6094

100 · eᵗ = 500 ⇒ eᵗ = 5 ⇒ t = ln 5 ≈ 1,6094 ≈ 1,61 Tage.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne ln(e⁵) + ln 1 − ln e.

✓ Antwort: 4

ln(e⁵) = 5, ln 1 = 0, ln e = 1: 5 + 0 − 1 = 4.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Löse ln x + 3 = 5 (auf 0,01 genau).

✓ Antwort: 7.3891

Erst umformen: ln x = 2. Dann potenzieren: x = e² ≈ 7,3891.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Skizziere den Graphen von y = eˣ mit der Geraden y = 3 und markiere den Schnittpunkt. Erkläre, warum seine x-Koordinate ln 3 heißt, und bestimme ln 3 auf zwei Stellen genau. Löse dann e^(2x) = 3. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: steigender Graph von eˣ, Gerade y = 3, Schnittpunkt bei x = ln 3, denn ln 3 ist der Exponent, für den e^x = 3 gilt. ln 3 ≈ 1,10. Für e^(2x) = 3: 2x = ln 3, also x = (ln 3)/2 ≈ 0,55.

ln 3 ist der Exponent, der aus e die Zahl 3 macht; bei e^(2x) = 3 steht 2x im Exponenten und wird erst danach durch 2 geteilt.