Logarithmenregeln
Es ist 6 = 2 · 3. Welcher Ausdruck ist gleich ln 6?
Erklärung: ln(u·v) = ln u + ln v, also ln 6 = ln 2 + ln 3 ≈ 0,69 + 1,10 = 1,79. Das Produkt ln 2 · ln 3 ≈ 0,76 und ln 5 (aus 2 + 3) sind typische Verwechslungen.
Die Punkte liegen bei x = 2, x = 3 und x = 6 auf dem Graphen von ln (Höhen ≈ 0,69; 1,10; 1,79). Welche Gleichung zeigen sie?
Erklärung: 0,69 + 1,10 = 1,79: Die Höhen von x = 2 und x = 3 addieren sich zur Höhe von x = 2·3 = 6. Das Produkt der Höhen wäre nur 0,76, und x = 5 hat die Höhe 1,61.
Es sei ln 2 ≈ 0,693 und ln 5 ≈ 1,609. Berechne ln 10 (auf 0,001 genau).
Erklärung: Wegen 10 = 2 · 5 ist ln 10 = ln 2 + ln 5 ≈ 0,693 + 1,609 = 2,302.
Berechne ln 4 + ln 25 (auf 0,01 genau).
Erklärung: ln 4 + ln 25 = ln(4 · 25) = ln 100 ≈ 4,6052.
Welcher Ausdruck ist gleich ln(8/2)?
Erklärung: ln(u/v) = ln u − ln v. Hier ist ln 4 = ln 8 − ln 2 ≈ 2,08 − 0,69 = 1,39. Der Quotient ln 8 / ln 2 = 3 und ln 6 (aus 8 − 2) sind Verwechslungen.
Die Punkte liegen bei x = 5 und x = 0,2 auf dem Graphen von ln. Es gilt ln(1/5) = −ln 5.
Erklärung: ln(1/5) = ln 1 − ln 5 = 0 − ln 5 = −1,61. Im Bild: Die Punkte bei x = 0,2 und x = 5 liegen gleich weit unter und über der x-Achse.
Es sei ln 3 ≈ 1,0986. Berechne ln(1/3) (auf 0,01 genau).
Erklärung: ln(1/3) = −ln 3 ≈ −1,10.
Berechne ln 12 − ln 4 (auf 0,01 genau).
Erklärung: ln 12 − ln 4 = ln(12/4) = ln 3 ≈ 1,0986.
Welcher Ausdruck ist für x > 0 gleich ln(x⁵)?
Erklärung: ln(u^r) = r · ln u: Der Exponent wird zum Faktor. (ln x)⁵ potenziert den Logarithmus statt das Argument, „ln x + 5“ addiert den Exponenten.
Die Punkte liegen bei x = 2 und x = 8 = 2³ auf dem Graphen von ln (Höhen ≈ 0,69 und 2,08). Welche Gleichung passt?
Erklärung: 3 · ln 2 ≈ 3 · 0,69 = 2,08 = ln 8. Ein Exponent 3 im Argument wird zum Faktor 3. „ln 2 + 3“ ≈ 3,69 und (ln 2)³ ≈ 0,33 passen nicht zur Höhe 2,08.
Für x = −3 gilt ln(x²) = 2 · ln x.
Erklärung: ln(x²) = ln 9 ≈ 2,20 ist definiert, aber ln(−3) gibt es nicht, also auch nicht 2 · ln x. Für alle x ≠ 0 gilt ln(x²) = 2 · ln|x|.
Es sei ln 2 ≈ 0,6931. Berechne ln 8 = ln(2³) (auf 0,01 genau).
Erklärung: ln(2³) = 3 · ln 2 ≈ 3 · 0,6931 = 2,0794.
Berechne 2 · ln 5 − ln 25.
Erklärung: ln 25 = ln(5²) = 2 · ln 5. Also ist 2 · ln 5 − ln 25 = 0.
Welche Gleichung stimmt?
Erklärung: Nur für Produkte gilt: ln 12 ≈ 2,48 = 1,10 + 1,39. Aber ln 7 ≈ 1,95, während ln 3 + ln 4 ≈ 2,48 und ln 3 · ln 4 ≈ 1,52 ist. Für Summen im Argument gibt es keine Regel.
Für x = 3 ist ln(x²) ≈ 2,20. Welchen Wert hat (ln x)²?
Erklärung: (ln 3)² ≈ 1,10² ≈ 1,21: Hier wird der Logarithmus quadriert, nicht das Argument. Die 2,20 ist ln(x²) = 2 · ln x, die 1,10 ist ln 3 ohne das Quadrat.
Berechne ln(2 + 3) (auf 0,01 genau).
Erklärung: 2 + 3 = 5, also ln 5 ≈ 1,6094. Man darf die Summe nicht in ln 2 + ln 3 ≈ 1,79 zerlegen.
Um wie viel ist ln 2 + ln 3 größer als ln(2 + 3)? (auf 0,01 genau)
Erklärung: ln 2 + ln 3 = ln 6 ≈ 1,7918, ln 5 ≈ 1,6094; Unterschied ≈ 0,1823.
Zeige mit u = eᵃ und v = eᵇ, dass ln(u · v) = ln u + ln v gilt. Berechne damit ln 12 aus ln 2 ≈ 0,693 und ln 3 ≈ 1,099 (Hinweis: 12 = 2 · 2 · 3) und vergleiche mit dem Taschenrechnerwert.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Aus eᵃ · eᵇ = e^(a+b) folgt, dass ln Produkte in Summen verwandelt. ln 12 = 2 · ln 2 + ln 3.