Logarithmenregeln

Logarithm laws

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben

AnalysisNatürlicher LogarithmusLogarithmusLogarithmengesetze

Aus eᵃ·eᵇ = e^(a+b) folgen ln(u·v) = ln u + ln v, ln(u/v) = ln u − ln v und ln(uʳ) = r·ln u für positive u und v. Für Summen im Argument, für Produkte oder Quotienten von Logarithmen und für (ln x)² gibt es keine entsprechende Regel. Der Abschnitt räumt die dokumentierte Fehlgewohnheit aus, ln(a+b) als ln a + ln b zu schreiben, weil das Aussehen des Terms an das Distributivgesetz erinnert, und die Verwechslung von ln(x²) mit (ln x)². Er bereitet das Vereinfachen vor dem Ableiten und den Grenzwert von xⁿ·ln x vor.

Produkte werden Summen

Von den Potenzen kennst du $e^{a} \cdot e^{b} = e^{a + b}$ . Setzt man u = eᵃ und v = eᵇ, so ist ln u = a, ln v = b und u · v = e^(a+b), also ln(u · v) = a + b. Damit gilt:

$ln (u \cdot v) = ln u + ln v, ln \frac{u}{v} = ln u - ln v$

Beispiel: $ln 6 = ln 2 + ln 3 \approx 0, 69 + 1, 10 = 1, 79$ . Aus u = 1 folgt $ln (1/ v) = - ln v$ , etwa ln(1/5) = −ln 5 ≈ −1,61. Das Produkt im Argument wird zur Summe, der Quotient zur Differenz. Beispiel: ln(8/2) = ln 8 − ln 2 ≈ 2,08 − 0,69 = 1,39, und das ist ln 4. Alle Regeln gelten nur für positive u und v.

Verändere u und v. Wie hängen die Höhen bei u, v und u · v zusammen?

Potenzen, und was nicht geht

Aus u = eᵗ folgt uʳ = e^(t · r), also $ln (u^{r}) = r \cdot ln u$ für u > 0. So ist $ln (x^{3}) = 3 ln x$ und $ln x = \frac{1}{2} ln x$ für x > 0; auch ln 8 = ln(2³) = 3 · ln 2 ≈ 2,08. Für negative x ist x² positiv, ln x aber nicht definiert: $ln (x^{2}) = 2 ln ∣ x ∣$ gilt für alle x ≠ 0. Für Summen im Argument gibt es keine Regel, und ein Quotient oder eine Potenz von Logarithmen ist etwas anderes als der Logarithmus eines Quotienten oder einer Potenz: $ln (2 + 3) \neq = ln 2 + ln 3$ , $\frac{l n 100}{l n 10} \neq = ln 10$ , $(ln x)^{2} \neq = ln (x^{2})$ .

Verändere a und r. Vergleiche die Höhe bei aʳ mit dem r-fachen der Höhe bei a.

Voraussetzungen (1)

Der natürliche Logarithmus

Klasse 12

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Ermöglicht (2)

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Es ist 6 = 2 · 3. Welcher Ausdruck ist gleich ln 6?

● ln 2 + ln 3
○ ln 2 · ln 3
○ ln 5

ln(u·v) = ln u + ln v, also ln 6 = ln 2 + ln 3 ≈ 0,69 + 1,10 = 1,79. Das Produkt ln 2 · ln 3 ≈ 0,76 und ln 5 (aus 2 + 3) sind typische Verwechslungen.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Die Punkte liegen bei x = 2, x = 3 und x = 6 auf dem Graphen von ln (Höhen ≈ 0,69; 1,10; 1,79). Welche Gleichung zeigen sie?

● ln 6 = ln 2 + ln 3
○ ln 6 = ln 2 · ln 3
○ ln 5 = ln 2 + ln 3

0,69 + 1,10 = 1,79: Die Höhen von x = 2 und x = 3 addieren sich zur Höhe von x = 2·3 = 6. Das Produkt der Höhen wäre nur 0,76, und x = 5 hat die Höhe 1,61.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Welcher Ausdruck ist gleich ln(8/2)?

● ln 8 − ln 2
○ ln 8 / ln 2
○ ln 6

ln(u/v) = ln u − ln v. Hier ist ln 4 = ln 8 − ln 2 ≈ 2,08 − 0,69 = 1,39. Der Quotient ln 8 / ln 2 = 3 und ln 6 (aus 8 − 2) sind Verwechslungen.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Die Punkte liegen bei x = 5 und x = 0,2 auf dem Graphen von ln. Es gilt ln(1/5) = −ln 5.

✓ Wahr

ln(1/5) = ln 1 − ln 5 = 0 − ln 5 = −1,61. Im Bild: Die Punkte bei x = 0,2 und x = 5 liegen gleich weit unter und über der x-Achse.

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Welcher Ausdruck ist für x > 0 gleich ln(x⁵)?

● 5 · ln x
○ (ln x)⁵
○ ln x + 5

ln(u^r) = r · ln u: Der Exponent wird zum Faktor. (ln x)⁵ potenziert den Logarithmus statt das Argument, „ln x + 5“ addiert den Exponenten.

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Die Punkte liegen bei x = 2 und x = 8 = 2³ auf dem Graphen von ln (Höhen ≈ 0,69 und 2,08). Welche Gleichung passt?

● ln 8 = 3 · ln 2
○ ln 8 = ln 2 + 3
○ ln 8 = (ln 2)³

3 · ln 2 ≈ 3 · 0,69 = 2,08 = ln 8. Ein Exponent 3 im Argument wird zum Faktor 3. „ln 2 + 3“ ≈ 3,69 und (ln 2)³ ≈ 0,33 passen nicht zur Höhe 2,08.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Für x = −3 gilt ln(x²) = 2 · ln x.

✓ Falsch

ln(x²) = ln 9 ≈ 2,20 ist definiert, aber ln(−3) gibt es nicht, also auch nicht 2 · ln x. Für alle x ≠ 0 gilt ln(x²) = 2 · ln|x|.

Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Welche Gleichung stimmt?

● ln(3 · 4) = ln 3 + ln 4
○ ln(3 + 4) = ln 3 + ln 4
○ ln(3 + 4) = ln 3 · ln 4

Nur für Produkte gilt: ln 12 ≈ 2,48 = 1,10 + 1,39. Aber ln 7 ≈ 1,95, während ln 3 + ln 4 ≈ 2,48 und ln 3 · ln 4 ≈ 1,52 ist. Für Summen im Argument gibt es keine Regel.

Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Für x = 3 ist ln(x²) ≈ 2,20. Welchen Wert hat (ln x)²?

● 1,21
○ 2,20
○ 1,10

(ln 3)² ≈ 1,10² ≈ 1,21: Hier wird der Logarithmus quadriert, nicht das Argument. Die 2,20 ist ln(x²) = 2 · ln x, die 1,10 ist ln 3 ohne das Quadrat.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Es sei ln 2 ≈ 0,693 und ln 5 ≈ 1,609. Berechne ln 10 (auf 0,001 genau).

✓ Antwort: 2.3026

Wegen 10 = 2 · 5 ist ln 10 = ln 2 + ln 5 ≈ 0,693 + 1,609 = 2,302.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Es sei ln 3 ≈ 1,0986. Berechne ln(1/3) (auf 0,01 genau).

✓ Antwort: -1.0986

ln(1/3) = −ln 3 ≈ −1,10.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Es sei ln 2 ≈ 0,6931. Berechne ln 8 = ln(2³) (auf 0,01 genau).

✓ Antwort: 2.0794

ln(2³) = 3 · ln 2 ≈ 3 · 0,6931 = 2,0794.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne ln(2 + 3) (auf 0,01 genau).

✓ Antwort: 1.6094

2 + 3 = 5, also ln 5 ≈ 1,6094. Man darf die Summe nicht in ln 2 + ln 3 ≈ 1,79 zerlegen.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne ln 4 + ln 25 (auf 0,01 genau).

✓ Antwort: 4.6052

ln 4 + ln 25 = ln(4 · 25) = ln 100 ≈ 4,6052.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne ln 12 − ln 4 (auf 0,01 genau).

✓ Antwort: 1.0986

ln 12 − ln 4 = ln(12/4) = ln 3 ≈ 1,0986.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne 2 · ln 5 − ln 25.

✓ Antwort: 0

ln 25 = ln(5²) = 2 · ln 5. Also ist 2 · ln 5 − ln 25 = 0.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Um wie viel ist ln 2 + ln 3 größer als ln(2 + 3)? (auf 0,01 genau)

✓ Antwort: 0.1823

ln 2 + ln 3 = ln 6 ≈ 1,7918, ln 5 ≈ 1,6094; Unterschied ≈ 0,1823.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Zeige mit u = eᵃ und v = eᵇ, dass ln(u · v) = ln u + ln v gilt. Berechne damit ln 12 aus ln 2 ≈ 0,693 und ln 3 ≈ 1,099 (Hinweis: 12 = 2 · 2 · 3) und vergleiche mit dem Taschenrechnerwert. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: u = eᵃ, v = eᵇ, also ln u = a und ln v = b. u · v = eᵃ · eᵇ = e^(a+b), also ln(u · v) = a + b = ln u + ln v. ln 12 = ln 2 + ln 2 + ln 3 ≈ 0,693 + 0,693 + 1,099 = 2,485; Taschenrechner: ln 12 ≈ 2,485.

Aus eᵃ · eᵇ = e^(a+b) folgt, dass ln Produkte in Summen verwandelt. ln 12 = 2 · ln 2 + ln 3.