Minus mal Minus
Ein Konto bucht 5-mal eine Gebühr von 3 Euro ab; jede Buchung ist −3 Euro. Welche Rechnung passt?
Erklärung: Fünfmal −3 ist (−3) + (−3) + (−3) + (−3) + (−3) = −15. Ein positives Ergebnis oder die Summe 5 + (−3) passt nicht zu fünf Abbuchungen.
Der Zahlenstrahl zeigt vier gleiche Sprünge nach links. Welche Malaufgabe zeigt er?
Erklärung: Vier Sprünge um jeweils −3 sind 4 · (−3) = −12. 4 · 3 = 12 wäre nach rechts, und (−4) · (−3) ist gar kein Sprungbild.
3 · (−4) = −12, denn drei Schulden von je 4 Euro sind 12 Euro Schulden.
Erklärung: 3 · (−4) = (−4) + (−4) + (−4) = −12.
Berechne: 5 · (−6) = ?
Erklärung: 5 · (−6) = (−6) + (−6) + (−6) + (−6) + (−6) = −30.
Ein Fahrstuhl fährt 7 Sekunden lang mit −3 Metern pro Sekunde. Um wie viele Meter ändert sich seine Höhe?
Erklärung: 7 · (−3) = −21: Der Fahrstuhl ist am Ende 21 Meter tiefer.
Die Reihe 3 · (−4) = −12, 2 · (−4) = −8, 1 · (−4) = −4, 0 · (−4) = 0 wird fortgesetzt. Was ist (−1) · (−4)?
Erklärung: Bei jedem Schritt wächst das Ergebnis um 4: nach 0 folgt 4. Die −4 entsteht, wenn man „Minus mal Minus gleich Minus“ annimmt, die 0 wenn das Wachstum stoppt.
In der Tabelle fehlt das letzte Ergebnis. Welche Zahl gehört an die Stelle des Fragezeichens?
Erklärung: Die Ergebnisse steigen um 5 je Schritt: −15, −10, −5, 0, dann 5. Also (−1) · (−5) = 5.
In der Reihe 2 · (−5) = −10, 1 · (−5) = −5, 0 · (−5) = 0 wird das Ergebnis bei jedem Schritt um 5 größer.
Erklärung: Von −10 zu −5 zu 0 sind es jedes Mal +5, weil der erste Faktor um 1 kleiner wird und −5 dabei einmal weniger vorkommt.
Setze fort: 3 · (−5) = −15, 2 · (−5) = −10, 1 · (−5) = −5, 0 · (−5) = 0, (−1) · (−5) = ?
Erklärung: Das Ergebnis wächst um 5 je Schritt: 0 + 5 = 5.
Die Reihe 3 · (−6) = −18, 2 · (−6) = −12, 1 · (−6) = −6, 0 · (−6) = 0 wird fortgesetzt. Bestimme (−2) · (−6).
Erklärung: Bei jedem Schritt +6: (−1) · (−6) = 6, (−2) · (−6) = 12. Kontrolle: 2 · 6 = 12.
Dir werden 3 Schuldscheine über je 4 Euro erlassen. Wie ändert sich dein Kontostand?
Erklärung: Jeder Schein war −4 Euro. Erlässt man 3 davon, nimmt man 3 · (−4) weg: (−3) · (−4) = 12, der Kontostand steigt um 12 Euro. −12 wäre eine neue Schuld, +4 nur ein Schein.
Ein Konto steht bei −20 Euro (siehe Zahlenstrahl). Zwei Schuldscheine über je 5 Euro werden erlassen. Welche Rechnung beschreibt die Änderung?
Erklärung: Man nimmt 2 · (−5) weg: (−2) · (−5) = 10. Das Konto steigt von −20 auf −10.
(−2) · (−5) = −10, denn beide Zahlen sind negativ, also wird auch das Ergebnis negativ.
Erklärung: Wer Schulden wegnimmt, wird reicher: (−2) · (−5) = +10. Das Ergebnis ist positiv, obwohl beide Faktoren negativ sind.
Berechne: (−3) · (−4) = ?
Erklärung: Drei erlassene Scheine über je 4 Euro: (−3) · (−4) = +12.
Ein Konto steht bei −45 Euro. Es werden 3 Schuldscheine über je 8 Euro erlassen. Wie hoch ist der neue Kontostand in Euro?
Erklärung: Die Änderung ist (−3) · (−8) = +24. Neuer Kontostand: −45 + 24 = −21.
Begründe, warum (−3) · (−5) = 15 gilt, auf zwei Wegen: (1) mit einer Reihe 3 · (−5), 2 · (−5), … , die du fortsetzt, und (2) mit Schuldscheinen, die erlassen werden. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Reihe wächst bei jedem Schritt um 5 und erreicht (−3) · (−5) = 15. Im Schuldenbild ist −5 ein Schein; drei Scheine wegzunehmen macht 15 Euro reicher.