Minus mal Minus

Minus times minus

Mathematik Klasse 5 16 Aufgaben
ArithmetikGanze ZahlenMultiplikationPermanenzprinzip

Warum ist (−3) · (−4) gleich +12? Zwei Wege machen es plausibel: das Muster 3 · (−4), 2 · (−4), 1 · (−4), 0 · (−4), das je Schritt um 4 wächst und dessen Fortsetzung (−1) · (−4) = 4 fordert (Permanenzprinzip), und das Bild vom Erlassen von Schulden. Der Abschnitt räumt „Minus mal Minus gleich Minus“ aus, das aus dem Bild der wiederholten Addition und der Gleichsetzung jedes Minus mit einem Rechenzeichen entsteht (Vlassis 2004; Hefendehl-Hebeker und Prediger 2006). Er bereitet die Vorzeichenregeln für Produkte und Quotienten vor.

Das Muster geht weiter

3 · (−4) bedeutet dreimal −4, also wiederholte Addition: (−4) + (−4) + (−4) = −12. Bei hilft das nicht mehr, denn man kann nicht „minus dreimal“ addieren. Ein Muster hilft: Halte −4 fest und lass den ersten Faktor sinken. , , , . Das Ergebnis wächst bei jedem Schritt um 4. Ein Alltagsbeispiel: Wird dein Konto fünfmal mit je 3 Euro belastet, ändert sich der Stand um Euro.

Führst du das Muster fort, folgt , dann 8 und 12. Man legt es so fest, weil dann die Rechengesetze weiter gelten (Permanenzprinzip). Das Ergebnis von ist also +12.

Verändere a von 3 bis −3 und beobachte, in welche Richtung und wie weit das Ergebnis bei jedem Schritt wandert.

Schulden erlassen

Auch ein Bild macht es plausibel. Du hast 4 Schuldscheine über je 4 Euro, dein Konto steht bei −16 Euro; jeder Schein ist −4 Euro auf deinem Konto. Werden dir drei davon erlassen, nimmst du dreimal −4 Euro weg. Du wirst um 12 Euro reicher: .

Die beiden Vorzeichen haben zwei Rollen. Das erste sagt „wegnehmen“ statt „dazubekommen“, das zweite „Schuld“ statt „Guthaben“. Kehrst du beides um, kommt Plus heraus. Beide Wege, das Muster und das Schuldenbild, liefern +12; das ist kein Zufall, sondern das, was die Rechengesetze verlangen.

Erlasse nacheinander Schuldscheine. Wie ändert sich der Kontostand mit jedem erlassenen Schein?

Ermöglicht (1)

Vorzeichenregeln
Klasse 5
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ein Konto bucht 5-mal eine Gebühr von 3 Euro ab; jede Buchung ist −3 Euro. Welche Rechnung passt?

  • ● 5 · (−3) = −15
  • ○ 5 · (−3) = 15
  • ○ 5 + (−3) = 2
Fünfmal −3 ist (−3) + (−3) + (−3) + (−3) + (−3) = −15. Ein positives Ergebnis oder die Summe 5 + (−3) passt nicht zu fünf Abbuchungen.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Der Zahlenstrahl zeigt vier gleiche Sprünge nach links. Welche Malaufgabe zeigt er?

  • ● 4 · (−3)
  • ○ 4 · 3
  • ○ (−4) · (−3)
Vier Sprünge um jeweils −3 sind 4 · (−3) = −12. 4 · 3 = 12 wäre nach rechts, und (−4) · (−3) ist gar kein Sprungbild.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

3 · (−4) = −12, denn drei Schulden von je 4 Euro sind 12 Euro Schulden.

✓ Wahr
3 · (−4) = (−4) + (−4) + (−4) = −12.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Die Reihe 3 · (−4) = −12, 2 · (−4) = −8, 1 · (−4) = −4, 0 · (−4) = 0 wird fortgesetzt. Was ist (−1) · (−4)?

  • ● 4
  • ○ −4
  • ○ 0
Bei jedem Schritt wächst das Ergebnis um 4: nach 0 folgt 4. Die −4 entsteht, wenn man „Minus mal Minus gleich Minus“ annimmt, die 0 wenn das Wachstum stoppt.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

In der Tabelle fehlt das letzte Ergebnis. Welche Zahl gehört an die Stelle des Fragezeichens?

  • ● 5
  • ○ −5
  • ○ 0
Die Ergebnisse steigen um 5 je Schritt: −15, −10, −5, 0, dann 5. Also (−1) · (−5) = 5.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

In der Reihe 2 · (−5) = −10, 1 · (−5) = −5, 0 · (−5) = 0 wird das Ergebnis bei jedem Schritt um 5 größer.

✓ Wahr
Von −10 zu −5 zu 0 sind es jedes Mal +5, weil der erste Faktor um 1 kleiner wird und −5 dabei einmal weniger vorkommt.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Dir werden 3 Schuldscheine über je 4 Euro erlassen. Wie ändert sich dein Kontostand?

  • ● +12 Euro
  • ○ −12 Euro
  • ○ +4 Euro
Jeder Schein war −4 Euro. Erlässt man 3 davon, nimmt man 3 · (−4) weg: (−3) · (−4) = 12, der Kontostand steigt um 12 Euro. −12 wäre eine neue Schuld, +4 nur ein Schein.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Ein Konto steht bei −20 Euro (siehe Zahlenstrahl). Zwei Schuldscheine über je 5 Euro werden erlassen. Welche Rechnung beschreibt die Änderung?

  • ● (−2) · (−5) = +10
  • ○ (−2) · (−5) = −10
  • ○ 2 · (−5) = −10
Man nimmt 2 · (−5) weg: (−2) · (−5) = 10. Das Konto steigt von −20 auf −10.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

(−2) · (−5) = −10, denn beide Zahlen sind negativ, also wird auch das Ergebnis negativ.

✓ Falsch
Wer Schulden wegnimmt, wird reicher: (−2) · (−5) = +10. Das Ergebnis ist positiv, obwohl beide Faktoren negativ sind.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne: 5 · (−6) = ?

✓ Antwort: -30
5 · (−6) = (−6) + (−6) + (−6) + (−6) + (−6) = −30.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Setze fort: 3 · (−5) = −15, 2 · (−5) = −10, 1 · (−5) = −5, 0 · (−5) = 0, (−1) · (−5) = ?

✓ Antwort: 5
Das Ergebnis wächst um 5 je Schritt: 0 + 5 = 5.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne: (−3) · (−4) = ?

✓ Antwort: 12
Drei erlassene Scheine über je 4 Euro: (−3) · (−4) = +12.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Fahrstuhl fährt 7 Sekunden lang mit −3 Metern pro Sekunde. Um wie viele Meter ändert sich seine Höhe?

✓ Antwort: -21
7 · (−3) = −21: Der Fahrstuhl ist am Ende 21 Meter tiefer.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Reihe 3 · (−6) = −18, 2 · (−6) = −12, 1 · (−6) = −6, 0 · (−6) = 0 wird fortgesetzt. Bestimme (−2) · (−6).

✓ Antwort: 12
Bei jedem Schritt +6: (−1) · (−6) = 6, (−2) · (−6) = 12. Kontrolle: 2 · 6 = 12.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Konto steht bei −45 Euro. Es werden 3 Schuldscheine über je 8 Euro erlassen. Wie hoch ist der neue Kontostand in Euro?

✓ Antwort: -21
Die Änderung ist (−3) · (−8) = +24. Neuer Kontostand: −45 + 24 = −21.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Begründe, warum (−3) · (−5) = 15 gilt, auf zwei Wegen: (1) mit einer Reihe 3 · (−5), 2 · (−5), … , die du fortsetzt, und (2) mit Schuldscheinen, die erlassen werden. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Reihe: 3 · (−5) = −15, 2 · (−5) = −10, 1 · (−5) = −5, 0 · (−5) = 0; das Ergebnis wächst um 5, also (−1) · (−5) = 5, (−2) · (−5) = 10, (−3) · (−5) = 15. Schuldscheine: 3 Scheine über je 5 Euro (−5) werden erlassen, das sind 15 Euro mehr, also (−3) · (−5) = +15.
Die Reihe wächst bei jedem Schritt um 5 und erreicht (−3) · (−5) = 15. Im Schuldenbild ist −5 ein Schein; drei Scheine wegzunehmen macht 15 Euro reicher.