Aussagen prüfen und widerlegen
Behauptung: „Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat.“ Welches Zahlenpaar widerlegt sie?
Erklärung: Bei −5 und 3 hat −5 den größeren Betrag (5 > 3), ist aber die kleinere Zahl — das widerlegt die Behauptung. Bei 5 und 3 sowie bei 4 und 7 hat die größere Zahl den größeren Betrag, die Behauptung stimmt dort.
Behauptung: „Die Gegenzahl einer Zahl ist immer kleiner als die Zahl selbst.“ Welche Zahl widerlegt sie?
Erklärung: Die Gegenzahl von −3 ist 3, und 3 ist größer als −3 — die Behauptung stimmt hier nicht. Bei 3 und 7 sind die Gegenzahlen −3 und −7 tatsächlich kleiner.
Das Paar A und B ist ein Gegenbeispiel zur Behauptung „Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat“.
Erklärung: A liegt bei −4 und hat den Betrag 4, B liegt bei 2 und hat den Betrag 2. A hat den größeren Betrag, ist aber die kleinere Zahl — ein Gegenbeispiel.
Das Paar A und B ist ein Gegenbeispiel zur Behauptung „Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat“.
Erklärung: A liegt bei 3, B bei 5. B hat den größeren Betrag und ist auch die größere Zahl — hier stimmt die Behauptung, es ist kein Gegenbeispiel.
Behauptung: „Die Gegenzahl einer Zahl ist immer größer als die Zahl selbst.“ Welche der Zahlen −2, −1 und 0 widerlegt sie?
Erklärung: Die Gegenzahl von −2 ist 2, die von −1 ist 1 — beide sind größer. Die Gegenzahl von 0 ist 0 und nicht größer als 0. Damit ist 0 ein Gegenbeispiel.
Behauptung: „Zwischen zwei verschiedenen natürlichen Zahlen liegt immer noch eine weitere natürliche Zahl.“ Ein Gegenbeispiel sind 9 und eine größere Zahl. Wie heißt diese größere Zahl?
Erklärung: Zwischen 9 und 10 liegt keine weitere natürliche Zahl. 10 ist die einzige größere Zahl, bei der die Behauptung mit 9 verletzt wird.
Lena behauptet: „Die Gegenzahl einer Zahl ist immer kleiner als die Zahl selbst.“ Prüfe die Behauptung an mindestens
drei Zahlen, darunter eine negative. Zeichne die Zahlen und ihre Gegenzahlen auf einem Zahlenstrahl, gib ein Gegenbeispiel
an und formuliere eine Version der Behauptung, die stimmt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Ein einziges Gegenbeispiel (−3 oder 0) widerlegt die Behauptung. Für positive Zahlen gilt sie.
Behauptung: „Der Betrag einer Zahl ist immer größer als die Zahl selbst.“ Sie stimmt für −3, −8 und −20. Was folgt daraus?
Erklärung: Drei passende Beispiele beweisen nichts. Bei 5 ist |5| = 5 nicht größer als 5 — die Behauptung ist falsch, obwohl sie bei allen drei negativen Zahlen stimmte.
Wegen 2 · 2 = 2 + 2 gilt für jede Zahl: Die Zahl mal sich selbst ist gleich der Zahl plus sich selbst.
Erklärung: Für 3 gilt 3 · 3 = 9, aber 3 + 3 = 6. Dass ein Beispiel (die 2) passt, beweist die Behauptung nicht.
Behauptung: „Ein Produkt zweier natürlicher Zahlen ist immer größer als jeder Faktor.“ Wer nachrechnet, dass 1 · 4 = 4 nicht größer als 4 ist, hat sie widerlegt.
Erklärung: Das Paar 1 und 4 ist ein Gegenbeispiel: 1 · 4 = 4 ist nicht größer als der Faktor 4. Ein einziges Gegenbeispiel genügt zum Widerlegen.
Behauptung: „Jede natürliche Zahl größer als 10 ist gerade.“ Wie lautet die kleinste natürliche Zahl, die sie widerlegt?
Erklärung: 11 ist größer als 10 und ungerade. Keine kleinere Zahl über 10 widerlegt die Behauptung, denn 11 ist die erste.
Behauptung: „Verschiedene Zahlen ergeben beim Runden auf Hunderter verschiedene Ergebnisse.“ Welche der Zahlen 2421, 2489 und 2501 widerlegt sie zusammen mit 2422?
Erklärung: 2422 und 2421 werden beide zu 2400. 2489 wird zu 2500 und 2501 ebenfalls zu 2500, also nicht zu 2400.
Die Behauptung „Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat“ ist falsch. Welche Änderung macht sie richtig?
Erklärung: Bei positiven Zahlen sind Betrag und Zahl gleich, dort stimmt die Aussage. Die zweite Version scheitert an 5 und 3 (3 hat den kleineren Betrag, ist aber kleiner), die dritte an −5 und −2 (−5 hat den größeren Betrag und ist die kleinere Zahl).
Die Behauptung „Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat“ stimmt, wenn man sie auf ganze Zahlen zwischen −20 und 20 einschränkt.
Erklärung: Auch zwischen −20 und 20 liegt das Gegenbeispiel −5 und 3. Erst der Ausschluss der negativen Zahlen macht die Aussage richtig, denn bei positiven Zahlen sind Betrag und Zahl gleich.
Für zwei negative ganze Zahlen ist die Zahl mit dem größeren Betrag auch die größere.
Erklärung: Bei −8 und −3 hat −8 den größeren Betrag (8 > 3), liegt aber weiter links und ist die kleinere Zahl. Bei negativen Zahlen dreht sich die Ordnung um.
Welche der beiden markierten Zahlen ist die größere? Gib die Zahl an.
Erklärung: −3 liegt weiter rechts auf dem Zahlenstrahl als −8, ist also die größere Zahl — obwohl −8 den größeren Betrag hat.
Die Zahlen −6, 2, 9 und −11 werden nach ihrem Betrag geordnet, der kleinste Betrag zuerst. Welche Zahl steht an dritter Stelle?
Erklärung: Die Beträge sind 6, 2, 9 und 11. Nach dem Betrag geordnet ergibt sich 2, −6, 9, −11. An dritter Stelle steht 9.