Aussagen prüfen und widerlegen

Checking and refuting statements

Mathematik Klasse 5 17 Aufgaben

ZahlenGegenbeispielBegründen

Eine Aussage über alle Zahlen, etwa "Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat", lässt sich durch ein einziges Gegenbeispiel widerlegen (−5 und 3), aber nicht durch noch so viele passende Beispiele beweisen. Oft wird eine falsche Aussage richtig, wenn man sie einschränkt ("von zwei positiven Zahlen …"). Die Station räumt die Vorstellung aus, dass drei Beispiele eine Aussage belegen oder dass ein Gegenbeispiel "untypisch" sein müsse, und bereitet das Begründen und Beweisen in Algebra und Geometrie vor.

Eine Aussage prüfen

Jemand behauptet: „Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat.“ Wir testen: 5 und 2 — |5| > |2| und 5 > 2. 7 und 4 — stimmt. 10 und 6 — stimmt. Drei Beispiele passen. Beweist das die Aussage? Nein: Sie spricht über alle Zahlen, wir haben nur drei angesehen. Schon ein Blick auf negative Zahlen zeigt, worauf man achten muss.

Ziehe A und B. Suche ein Paar, bei dem eine Zahl den größeren Betrag hat, aber trotzdem die kleinere Zahl ist.

Gegenbeispiele

Das Paar −5 und 3 ist so ein Fall: Der Betrag von −5 ist 5 und damit größer als der von 3, aber −5 liegt links von 3 und ist die kleinere Zahl. Ein solcher Fall heißt Gegenbeispiel. Ein einziges Gegenbeispiel widerlegt die Aussage — dagegen kann man sie durch noch so viele passende Beispiele nie beweisen.

−5 hat den größeren Abstand zur 0 (5 gegen 3), liegt aber links von 3.

Oft kann man eine falsche Aussage retten, indem man sie einschränkt: „Von zwei positiven Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat.“ Das stimmt, weil bei positiven Zahlen Betrag und Zahl übereinstimmen.

Voraussetzungen (1)

Ordnen, Betrag und Gegenzahl

Klasse 5

›

Leicht

Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Behauptung: „Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat.“ Welches Zahlenpaar widerlegt sie?

● −5 und 3
○ 5 und 3
○ 4 und 7

Bei −5 und 3 hat −5 den größeren Betrag (5 > 3), ist aber die kleinere Zahl — das widerlegt die Behauptung. Bei 5 und 3 sowie bei 4 und 7 hat die größere Zahl den größeren Betrag, die Behauptung stimmt dort.

Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Behauptung: „Die Gegenzahl einer Zahl ist immer kleiner als die Zahl selbst.“ Welche Zahl widerlegt sie?

● −3
○ 3
○ 7

Die Gegenzahl von −3 ist 3, und 3 ist größer als −3 — die Behauptung stimmt hier nicht. Bei 3 und 7 sind die Gegenzahlen −3 und −7 tatsächlich kleiner.

Wahr / Falsch #3 30s ▶ Testen

Das Paar A und B ist ein Gegenbeispiel zur Behauptung „Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat“.

✓ Wahr

A liegt bei −4 und hat den Betrag 4, B liegt bei 2 und hat den Betrag 2. A hat den größeren Betrag, ist aber die kleinere Zahl — ein Gegenbeispiel.

Wahr / Falsch #4 30s ▶ Testen

Das Paar A und B ist ein Gegenbeispiel zur Behauptung „Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat“.

✓ Falsch

A liegt bei 3, B bei 5. B hat den größeren Betrag und ist auch die größere Zahl — hier stimmt die Behauptung, es ist kein Gegenbeispiel.

Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Behauptung: „Der Betrag einer Zahl ist immer größer als die Zahl selbst.“ Sie stimmt für −3, −8 und −20. Was folgt daraus?

● Noch nicht bewiesen: Ein Gegenbeispiel wie 5 ist möglich.
○ Damit ist sie bewiesen.
○ Damit ist sie widerlegt.

Drei passende Beispiele beweisen nichts. Bei 5 ist |5| = 5 nicht größer als 5 — die Behauptung ist falsch, obwohl sie bei allen drei negativen Zahlen stimmte.

Wahr / Falsch #6 25s ▶ Testen

Wegen 2 · 2 = 2 + 2 gilt für jede Zahl: Die Zahl mal sich selbst ist gleich der Zahl plus sich selbst.

✓ Falsch

Für 3 gilt 3 · 3 = 9, aber 3 + 3 = 6. Dass ein Beispiel (die 2) passt, beweist die Behauptung nicht.

Wahr / Falsch #7 25s ▶ Testen

Behauptung: „Ein Produkt zweier natürlicher Zahlen ist immer größer als jeder Faktor.“ Wer nachrechnet, dass 1 · 4 = 4 nicht größer als 4 ist, hat sie widerlegt.

✓ Wahr

Das Paar 1 und 4 ist ein Gegenbeispiel: 1 · 4 = 4 ist nicht größer als der Faktor 4. Ein einziges Gegenbeispiel genügt zum Widerlegen.

Multiple Choice #8 35s ▶ Testen

Die Behauptung „Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat“ ist falsch. Welche Änderung macht sie richtig?

● Von zwei positiven ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat.
○ Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den kleineren Betrag hat.
○ Von zwei negativen ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat.

Bei positiven Zahlen sind Betrag und Zahl gleich, dort stimmt die Aussage. Die zweite Version scheitert an 5 und 3 (3 hat den kleineren Betrag, ist aber kleiner), die dritte an −5 und −2 (−5 hat den größeren Betrag und ist die kleinere Zahl).

Wahr / Falsch #9 20s ▶ Testen

Die Behauptung „Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat“ stimmt, wenn man sie auf ganze Zahlen zwischen −20 und 20 einschränkt.

✓ Falsch

Auch zwischen −20 und 20 liegt das Gegenbeispiel −5 und 3. Erst der Ausschluss der negativen Zahlen macht die Aussage richtig, denn bei positiven Zahlen sind Betrag und Zahl gleich.

Wahr / Falsch #10 20s ▶ Testen

Für zwei negative ganze Zahlen ist die Zahl mit dem größeren Betrag auch die größere.

✓ Falsch

Bei −8 und −3 hat −8 den größeren Betrag (8 > 3), liegt aber weiter links und ist die kleinere Zahl. Bei negativen Zahlen dreht sich die Ordnung um.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Behauptung: „Die Gegenzahl einer Zahl ist immer größer als die Zahl selbst.“ Welche der Zahlen −2, −1 und 0 widerlegt sie?

✓ Antwort: 0

Die Gegenzahl von −2 ist 2, die von −1 ist 1 — beide sind größer. Die Gegenzahl von 0 ist 0 und nicht größer als 0. Damit ist 0 ein Gegenbeispiel.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Behauptung: „Jede natürliche Zahl größer als 10 ist gerade.“ Wie lautet die kleinste natürliche Zahl, die sie widerlegt?

✓ Antwort: 11

11 ist größer als 10 und ungerade. Keine kleinere Zahl über 10 widerlegt die Behauptung, denn 11 ist die erste.

Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Welche der beiden markierten Zahlen ist die größere? Gib die Zahl an.

✓ Antwort: -3

−3 liegt weiter rechts auf dem Zahlenstrahl als −8, ist also die größere Zahl — obwohl −8 den größeren Betrag hat.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Behauptung: „Zwischen zwei verschiedenen natürlichen Zahlen liegt immer noch eine weitere natürliche Zahl.“ Ein Gegenbeispiel sind 9 und eine größere Zahl. Wie heißt diese größere Zahl?

✓ Antwort: 10

Zwischen 9 und 10 liegt keine weitere natürliche Zahl. 10 ist die einzige größere Zahl, bei der die Behauptung mit 9 verletzt wird.

KI-bewertete Rechnung #2 240s ▶ Testen

Lena behauptet: „Die Gegenzahl einer Zahl ist immer kleiner als die Zahl selbst.“ Prüfe die Behauptung an mindestens drei Zahlen, darunter eine negative. Zeichne die Zahlen und ihre Gegenzahlen auf einem Zahlenstrahl, gib ein Gegenbeispiel an und formuliere eine Version der Behauptung, die stimmt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Test: 5 hat die Gegenzahl −5 (−5 < 5, stimmt), 2 hat −2 (stimmt), −3 hat die Gegenzahl 3, aber 3 ist größer als −3 — Gegenbeispiel, die Behauptung ist widerlegt (auch 0 ist eines). Richtig ist: „Die Gegenzahl einer positiven Zahl ist kleiner als die Zahl.“

Ein einziges Gegenbeispiel (−3 oder 0) widerlegt die Behauptung. Für positive Zahlen gilt sie.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Behauptung: „Verschiedene Zahlen ergeben beim Runden auf Hunderter verschiedene Ergebnisse.“ Welche der Zahlen 2421, 2489 und 2501 widerlegt sie zusammen mit 2422?

✓ Antwort: 2421

2422 und 2421 werden beide zu 2400. 2489 wird zu 2500 und 2501 ebenfalls zu 2500, also nicht zu 2400.

Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

Die Zahlen −6, 2, 9 und −11 werden nach ihrem Betrag geordnet, der kleinste Betrag zuerst. Welche Zahl steht an dritter Stelle?

✓ Antwort: 9

Die Beträge sind 6, 2, 9 und 11. Nach dem Betrag geordnet ergibt sich 2, −6, 9, −11. An dritter Stelle steht 9.