Die Dichtefunktion
Die Kurve ist die Dichtefunktion der KörpergröĂe X in cm. Welche Wahrscheinlichkeit gehört zur gefĂ€rbten FlĂ€che?
ErklÀrung: GefÀrbt ist die FlÀche zwischen den Grenzen 164 und 180: Sie ist die Wahrscheinlichkeit P(164 †X †180). P(X †164) wÀre nur der linke Rest, P(X ℠180) der rechte.
Die gefÀrbte FlÀche unter der Dichtefunktion ist die Wahrscheinlichkeit P(X †156).
ErklÀrung: GefÀrbt ist alles links der Grenze 156, also die Werte bis 156: Die FlÀche ist P(X †156).
FĂŒr eine Dichtefunktion f gilt P(a †X †b) = f(b) â f(a).
ErklĂ€rung: f(b) und f(a) sind Höhen der Kurve, keine FlĂ€chen. Die Wahrscheinlichkeit ist die FlĂ€che zwischen den Grenzen a und b, also ein Integral von f. Hier wĂ€re f(180) â f(164) sogar 0.
Die Dichtefunktion von X ist f(x) = 0,1 fĂŒr 0 †x †10 und sonst 0. Berechne P(2 †X †6) als FlĂ€che.
ErklĂ€rung: P(2 †X †6) ist die FlĂ€che unter f ĂŒber [2; 6]: ein Rechteck mit der Breite 6 â 2 = 4 und der Höhe 0,1, also 4 · 0,1 = 0,4.
Die FlĂ€che unter der Dichtefunktion von X ĂŒber [150; 160] ist 0,12, ĂŒber [160; 170] ist sie 0,31. Berechne P(150 †X †170).
ErklÀrung: Die Intervalle grenzen aneinander, also addieren sich die FlÀchen: 0,12 + 0,31 = 0,43.
Welche dieser Funktionen kann die Dichtefunktion einer ZufallsgröĂe sein?
ErklĂ€rung: Die erste Funktion ist nie negativ und hat die FlĂ€che 2 · 0,5 = 1. Die zweite hat die FlĂ€che 4 · 0,5 = 2, die dritte liegt unter der x-Achse (FlĂ€che â1). Beides ist bei einer Dichtefunktion unmöglich.
Eine Dichtefunktion kann Werte gröĂer als 1 annehmen.
ErklĂ€rung: Die Höhe ist keine Wahrscheinlichkeit. Ist f(x) = 2 fĂŒr 0 †x †0,5 und sonst 0, so ist die FlĂ€che 0,5 · 2 = 1: Eine schmale Kurve muss hoch sein.
Beide Kurven sind Dichtefunktionen von ZufallsgröĂen. Die schmalere, höhere Kurve hat die kleinere GesamtflĂ€che.
ErklÀrung: Jede Dichtefunktion hat die GesamtflÀche 1. Die schmalere Kurve verliert an Breite, was sie an Höhe gewinnt: Beide FlÀchen sind gleich 1.
Die Dichtefunktion von X ist f(x) = 0,25 fĂŒr 0 †x †4 und sonst 0. Berechne die FlĂ€che unter f (ĂŒber ganz â).
ErklÀrung: Das Rechteck hat die Breite 4 und die Höhe 0,25: FlÀche 4 · 0,25 = 1. Das passt zu einer Dichtefunktion.
Damit f(x) = c fĂŒr 0 †x †5 (sonst 0) eine Dichtefunktion ist, muss c den Wert ___ haben.
ErklÀrung: Die FlÀche 5 · c muss 1 sein: c = 1/5 = 0,2.
X ist stetig, und die Kurve hat bei 172 die Höhe f(172) â 0,05. Wie groĂ ist P(X = 172)?
ErklĂ€rung: Ein einzelner Wert hat unter der Kurve keine FlĂ€che, also P(X = 172) = 0. Die Höhe 0,05 ist ein Dichtewert (âWahrscheinlichkeit pro cmâ), keine Wahrscheinlichkeit.
Bei einer stetigen ZufallsgröĂe X sind P(X †180) und P(X < 180) gleich groĂ.
ErklÀrung: Der Randpunkt 180 hat die Wahrscheinlichkeit 0. Ob er zum Ereignis gehört, Àndert die FlÀche nicht.
Wegen P(X = 172) = 0 kann bei einer Messung der Wert 172 nicht auftreten.
ErklĂ€rung: Jede Messung liefert irgendeinen Wert, obwohl jeder einzelne Wert die Wahrscheinlichkeit 0 hat. Wahrscheinlichkeit 0 heiĂt hier nicht âunmöglichâ.
X ist stetig und P(X †180) = 0,84. Wie groà ist P(X < 180)?
ErklĂ€rung: P(X = 180) = 0, also P(X < 180) = P(X †180) â 0 = 0,84.
X ist stetig mit P(X < 3) = 0,2 und P(3 †X †5) = 0,5. Berechne P(X †5).
ErklĂ€rung: Die Bereiche X < 3 und 3 †X †5 grenzen aneinander, ohne sich zu ĂŒberlappen: 0,2 + 0,5 = 0,7. Ob 3 zum ersten oder zum zweiten Bereich zĂ€hlt, spielt keine Rolle.
Die Wartezeit X (in Minuten) auf eine Bahn hat die Dichtefunktion f(x) = 0,25 fĂŒr 0 †x †4 und f(x) = 0 sonst. Zeige, dass f eine Dichtefunktion ist, berechne P(1 †X †2,5) als FlĂ€che und gib P(X = 3) an.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Die FlĂ€che unter f ist ein Rechteck, 4 · 0,25 = 1. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist das Teilrechteck ĂŒber [1; 2,5]: 1,5 · 0,25 = 0,375. Ein einzelner Wert hat keine FlĂ€che: P(X = 3) = 0.