Die Dichtefunktion
The density function
Die Glockenkurve ist die Dichtefunktion f einer stetigen ZufallsgröĂe: P(a †X †b) ist die FlĂ€che unter dem Graphen ĂŒber [a; b], also das Integral von f. Die GesamtflĂ€che ist 1 und f(x) â„ 0. Ein einzelner Wert hat die FlĂ€che 0, daher P(X = a) = 0; der Dichtewert f(a) ist keine Wahrscheinlichkeit. RĂ€umt aus, die Höhe der Kurve sei eine Wahrscheinlichkeit, und dass Wahrscheinlichkeit 0 unmöglich heiĂe. Bereitet die Verteilungsfunktion und das Ablesen von ÎŒ und Ï vor.
Wahrscheinlichkeit ist FlÀche
Die Glockenkurve aus dem letzten Abschnitt ist die
Die GesamtflÀche unter dem Graphen ist 1, denn X nimmt irgendeinen Wert an, und es gilt
Ein Wert hat keine FlÀche
Ziehe die Grenzen zusammen: Die FlÀche schrumpft gegen 0. Ein einzelner Wert ist ein Intervall der LÀnge 0 und hat keine FlÀche, also
Auch der Dichtewert
Voraussetzungen (2)
Ermöglicht (2)
Die Kurve ist die Dichtefunktion der KörpergröĂe X in cm. Welche Wahrscheinlichkeit gehört zur gefĂ€rbten FlĂ€che?
Die gefÀrbte FlÀche unter der Dichtefunktion ist die Wahrscheinlichkeit P(X †156).
FĂŒr eine Dichtefunktion f gilt P(a †X †b) = f(b) â f(a).
Welche dieser Funktionen kann die Dichtefunktion einer ZufallsgröĂe sein?
Eine Dichtefunktion kann Werte gröĂer als 1 annehmen.
Beide Kurven sind Dichtefunktionen von ZufallsgröĂen. Die schmalere, höhere Kurve hat die kleinere GesamtflĂ€che.
X ist stetig, und die Kurve hat bei 172 die Höhe f(172) â 0,05. Wie groĂ ist P(X = 172)?
Bei einer stetigen ZufallsgröĂe X sind P(X †180) und P(X < 180) gleich groĂ.
Wegen P(X = 172) = 0 kann bei einer Messung der Wert 172 nicht auftreten.
Die Dichtefunktion von X ist f(x) = 0,1 fĂŒr 0 †x †10 und sonst 0. Berechne P(2 †X †6) als FlĂ€che.
Die Dichtefunktion von X ist f(x) = 0,25 fĂŒr 0 †x †4 und sonst 0. Berechne die FlĂ€che unter f (ĂŒber ganz â).
X ist stetig und P(X †180) = 0,84. Wie groà ist P(X < 180)?
Die FlĂ€che unter der Dichtefunktion von X ĂŒber [150; 160] ist 0,12, ĂŒber [160; 170] ist sie 0,31. Berechne P(150 †X †170).
Damit f(x) = c fĂŒr 0 †x †5 (sonst 0) eine Dichtefunktion ist, muss c den Wert ___ haben.
X ist stetig mit P(X < 3) = 0,2 und P(3 †X †5) = 0,5. Berechne P(X †5).
Die Wartezeit X (in Minuten) auf eine Bahn hat die Dichtefunktion f(x) = 0,25 fĂŒr 0 †x †4 und f(x) = 0 sonst. Zeige, dass f eine Dichtefunktion ist, berechne P(1 †X †2,5) als FlĂ€che und gib P(X = 3) an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.