Vom Histogramm zur Kurve
Im Histogramm ist die Säule über der Klasse 160 bis 170 cm genau 0,03 hoch. Wie groß ist die relative Häufigkeit dieser Klasse?
Erklärung: Die relative Häufigkeit ist die Fläche der Säule: Höhe · Klassenbreite = 0,03 · 10 = 0,3, also 30 % der Messwerte. Die Höhe allein (0,03) wäre die relative Häufigkeit pro Zentimeter.
Die Säule über 170 bis 175 cm ist höher als die über 150 bis 170 cm. Also liegen in der Klasse 170 bis 175 cm mehr Messwerte.
Erklärung: Verglichen werden Flächen, nicht Höhen: 150 bis 170 cm hat 20 · 0,02 = 0,4, die Klasse 170 bis 175 cm nur 5 · 0,04 = 0,2. Die breite Klasse enthält doppelt so viele Messwerte.
Die Flächen aller Säulen eines Histogramms relativer Häufigkeiten ergeben zusammen 1.
Erklärung: Jede Fläche ist der Anteil einer Klasse, und alle Anteile ergeben zusammen 100 % = 1. Deshalb ist auch die Gesamtfläche 1.
Eine Klasse ist 5 cm breit, ihre Säule 0,03 hoch. Wie groß ist die relative Häufigkeit dieser Klasse?
Erklärung: relative Häufigkeit = Höhe · Klassenbreite = 0,03 · 5 = 0,15, also 15 %.
In der Klasse 180 bis 190 cm liegen 150 von 1000 Messwerten. Wie hoch muss die Säule dieser Klasse sein?
Erklärung: relative Häufigkeit = 150/1000 = 0,15. Höhe = relative Häufigkeit ÷ Klassenbreite = 0,15 ÷ 10 = 0,015.
Ein Histogramm hat drei Klassen: 150 bis 160 cm (Höhe 0,01), 160 bis 170 cm (Höhe 0,04) und 170 bis 190 cm (Höhe 0,025). Berechne die relativen Häufigkeiten der drei Klassen, prüfe, ob die Säulen ein Histogramm relativer Häufigkeiten bilden, und gib an, wie viele von 800 Messwerten in der Klasse 170 bis 190 cm liegen.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die relative Häufigkeit einer Klasse ist die Fläche ihrer Säule, Höhe mal Klassenbreite. Alle drei Flächen ergeben zusammen 1, und die letzte Klasse enthält 50 % von 800 = 400 Messwerten.
Ein Histogramm gemessener Werte hat 8 cm breite Klassen. Was geschieht mit dem Umriss der Säulen, wenn man dieselben Daten in 2 cm breite Klassen einteilt?
Erklärung: Feinere Klassen zeigen mehr Einzelheiten: Der Umriss verliert seine groben Stufen und nähert sich einer Kurve. Die Gesamtfläche bleibt 1, weil dieselben Messwerte nur anders einsortiert werden.
Das Histogramm zeigt 10 000 Messwerte in 1-cm-Klassen. Fasst man je zwei Klassen zu einer 2-cm-Klasse zusammen, bleibt die Gesamtfläche der Säulen gleich.
Erklärung: Es sind dieselben 10 000 Messwerte, nur gröber einsortiert. Jede Fläche ist ein Anteil, und alle Anteile ergeben weiterhin 1.
Mit mehr Messwerten und feineren Klassen wird die Fläche unter dem Umriss immer größer.
Erklärung: Die Gesamtfläche ist immer 1: Jeder Messwert liegt in genau einer Klasse, und alle relativen Häufigkeiten ergeben zusammen 1. Es wird nur der Umriss glatter.
Wie groß ist die Gesamtfläche eines Histogramms relativer Häufigkeiten, unabhängig von der Klassenbreite?
Erklärung: Alle Anteile zusammen sind 100 % = 1, und jeder Anteil ist die Fläche einer Säule. Die Gesamtfläche ist also 1.
Ein Histogramm mit 1-cm-Klassen hat über dem Bereich 148 bis 196 cm 48 Säulen. Wie viele Säulen hat es über demselben Bereich mit 2-cm-Klassen?
Erklärung: Der Bereich ist 48 cm lang, jede Klasse 2 cm breit: 48 ÷ 2 = 24 Säulen.
Welche dieser Messreihen liefert bei vielen Werten am ehesten ein glockenförmiges Histogramm?
Erklärung: Die Länge einer Schraube schwankt durch viele kleine Einflüsse (Material, Werkzeug, Temperatur) symmetrisch um einen Sollwert. Einkommen und Wartezeiten sind nach rechts verzerrt: Wenige sehr große Werte ziehen den Rand lang.
Bei genügend vielen Messungen wird jedes Histogramm gemessener Werte glockenförmig.
Erklärung: Nur Größen, die durch viele kleine, unabhängige Einflüsse entstehen, sind oft glockenförmig. Einkommen oder Wartezeiten bleiben schief, auch bei sehr vielen Messungen.
Das Histogramm zeigt Messwerte, die sich nicht glockenförmig um eine Mitte verteilen.
Erklärung: Die Säulen sind links am höchsten und fallen nach rechts langsam ab; es gibt keinen Gipfel in der Mitte und keine Symmetrie. Das ist keine Glockenform.
Ein glockenförmiges Histogramm ist symmetrisch zur Mitte bei 172 cm. Die Klasse 160 bis 164 cm ist so hoch wie die Klasse von ___ bis 184 cm. Gib die untere Grenze an.
Erklärung: Spiegelt man 160 bis 164 an der Mitte 172, erhält man 180 bis 184: 172 + (172 − 164) = 180 und 172 + (172 − 160) = 184. Symmetrische Klassen sind gleich hoch.
Man würfelt mit drei fairen Würfeln und addiert die Augen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Summe 10? (drei Dezimalen)
Erklärung: Es gibt 27 der 216 gleich wahrscheinlichen Ergebnisse mit Summe 10: 27/216 = 0,125. Die mittleren Summen (10 und 11) sind am wahrscheinlichsten, die Verteilung hat einen Gipfel in der Mitte.