Vom Histogramm zur Kurve
From histogram to curve
Im Histogramm gemessener Werte zeigt die Fläche einer Säule die relative Häufigkeit ihrer Klasse; die Höhe ist relative Häufigkeit geteilt durch Klassenbreite, und alle Flächen zusammen ergeben 1. Macht man die Klassen feiner, nähert sich der Umriss einer glatten Kurve. Wo sich viele kleine Einflüsse addieren, etwa bei Körpergrößen oder Werkstücklängen, ist diese Kurve eine Glocke. Räumt aus, dass die Säulenhöhe die Häufigkeit anzeigt und dass alle Messwerte glockenförmig verteilt seien. Bereitet die Dichtefunktion vor.
Die Fläche zählt
Ein Histogramm zeigt, wie sich gemessene Werte auf
Die
Klassen feiner machen
Jetzt zu 10 000 gemessenen Körpergrößen. Bei 8 cm Klassenbreite zeigt das Histogramm nur grob, wie sich die Werte verteilen. Verkleinere die Klassenbreite: Der Rand der Säulen verliert seine Treppen und schmiegt sich an eine glatte Kurve, die
Warum eine Glocke?
Die Körpergröße hängt von vielen kleinen Einflüssen ab, die sich addieren. Ein Modell dafür ist die Summe von n Würfeln. Ein einzelner Würfel liefert lauter gleich hohe Säulen, doch schon bei drei Würfeln liegen die Summen am häufigsten in der Mitte, und die Säulen bilden eine Glocke. Wo sich viele kleine, unabhängige Einflüsse addieren, entstehen oft glockenförmige Histogramme, etwa bei Körpergrößen oder Werkstücklängen. Nicht immer: Einkommen und Wartezeiten sind schief, weil wenige sehr große Werte den Rand lang ziehen.
Ermöglicht (1)
Im Histogramm ist die Säule über der Klasse 160 bis 170 cm genau 0,03 hoch. Wie groß ist die relative Häufigkeit dieser Klasse?
Die Säule über 170 bis 175 cm ist höher als die über 150 bis 170 cm. Also liegen in der Klasse 170 bis 175 cm mehr Messwerte.
Die Flächen aller Säulen eines Histogramms relativer Häufigkeiten ergeben zusammen 1.
Ein Histogramm gemessener Werte hat 8 cm breite Klassen. Was geschieht mit dem Umriss der Säulen, wenn man dieselben Daten in 2 cm breite Klassen einteilt?
Das Histogramm zeigt 10 000 Messwerte in 1-cm-Klassen. Fasst man je zwei Klassen zu einer 2-cm-Klasse zusammen, bleibt die Gesamtfläche der Säulen gleich.
Mit mehr Messwerten und feineren Klassen wird die Fläche unter dem Umriss immer größer.
Welche dieser Messreihen liefert bei vielen Werten am ehesten ein glockenförmiges Histogramm?
Bei genügend vielen Messungen wird jedes Histogramm gemessener Werte glockenförmig.
Das Histogramm zeigt Messwerte, die sich nicht glockenförmig um eine Mitte verteilen.
Eine Klasse ist 5 cm breit, ihre Säule 0,03 hoch. Wie groß ist die relative Häufigkeit dieser Klasse?
Wie groß ist die Gesamtfläche eines Histogramms relativer Häufigkeiten, unabhängig von der Klassenbreite?
Ein glockenförmiges Histogramm ist symmetrisch zur Mitte bei 172 cm. Die Klasse 160 bis 164 cm ist so hoch wie die Klasse von ___ bis 184 cm. Gib die untere Grenze an.
In der Klasse 180 bis 190 cm liegen 150 von 1000 Messwerten. Wie hoch muss die Säule dieser Klasse sein?
Ein Histogramm hat drei Klassen: 150 bis 160 cm (Höhe 0,01), 160 bis 170 cm (Höhe 0,04) und 170 bis 190 cm (Höhe 0,025). Berechne die relativen Häufigkeiten der drei Klassen, prüfe, ob die Säulen ein Histogramm relativer Häufigkeiten bilden, und gib an, wie viele von 800 Messwerten in der Klasse 170 bis 190 cm liegen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Ein Histogramm mit 1-cm-Klassen hat über dem Bereich 148 bis 196 cm 48 Säulen. Wie viele Säulen hat es über demselben Bereich mit 2-cm-Klassen?
Man würfelt mit drei fairen Würfeln und addiert die Augen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Summe 10? (drei Dezimalen)