Wahrscheinlichkeiten für Intervalle
X ist normalverteilt mit μ = 172 und σ = 8. Wie lautet der z-Wert von x = 188?
Erklärung: z = (x − μ)/σ = (188 − 172)/8 = 16/8 = 2. Wer nur x − μ = 16 nimmt, hat nicht durch σ geteilt; 188/8 = 23,5 ignoriert μ.
X ist normalverteilt mit μ = 50 und σ = 10. Wie lautet der z-Wert von x = 35?
Erklärung: z = (35 − 50)/10 = −15/10 = −1,5. x liegt unter μ, also ist z negativ. −15 ist die Differenz ohne Teilen durch σ.
Für μ = 100 und σ = 15 hat x = 130 den z-Wert 2.
Erklärung: z = (130 − 100)/15 = 30/15 = 2. x liegt 2σ über μ.
X ist normalverteilt mit μ = 172 und σ = 8. Berechne den z-Wert von x = 160.
Erklärung: z = (160 − 172)/8 = −12/8 = −1,5.
X ist normalverteilt mit μ = 40 und σ = 5. Welches x gehört zu z = 1,2?
Erklärung: Aus z = (x − μ)/σ folgt x = μ + z · σ = 40 + 1,2 · 5 = 46.
X ist normalverteilt mit μ = 172 und σ = 8. Wie berechnet man P(164 ≤ X ≤ 188) mit Φ?
Erklärung: Umrechnen: z(188) = (188 − 172)/8 = 2 und z(164) = (164 − 172)/8 = −1. Dann Φ(2) − Φ(−1). Φ(188) − Φ(164) setzt die Grenzen ohne Umrechnung ein, die Summe passt nicht zu einer Fläche zwischen zwei Grenzen.
Für ein normalverteiltes X mit μ = 172 und σ = 8 ist P(X ≤ 180) = Φ(1).
Erklärung: Erst umrechnen: z = (180 − 172)/8 = 1, also P(X ≤ 180) = Φ(1). Φ(180) wäre falsch, denn Φ gehört zur Standardnormalverteilung.
X ist normalverteilt mit μ = 172 und σ = 8. Welcher Term liefert die gefärbte Fläche?
Erklärung: Die Fläche geht von 172 (z = 0) bis 188 (z = 2): Φ(2) − Φ(0). Φ(2) allein wäre alles links von 188, Φ(2) − Φ(−2) die Mitte von 156 bis 188.
X ist normalverteilt mit μ = 172 und σ = 8. Mit Φ(0,5) = 0,6915 und Φ(−0,5) = 0,3085: Berechne P(168 ≤ X ≤ 176).
Erklärung: z(176) = 0,5 und z(168) = −0,5. P = Φ(0,5) − Φ(−0,5) = 0,6915 − 0,3085 = 0,3830.
X ist normalverteilt mit μ = 172 und σ = 8. Mit Φ(1,5) = 0,9332 und Φ(0,5) = 0,6915: Berechne P(176 ≤ X ≤ 184).
Erklärung: z(184) = 1,5 und z(176) = 0,5. P = Φ(1,5) − Φ(0,5) = 0,9332 − 0,6915 = 0,2417.
Die Länge X der Bolzen einer Maschine ist normalverteilt mit μ = 40,0 mm und σ = 0,2 mm. Bolzen zwischen 39,7 mm und 40,4 mm sind brauchbar. Rechne die Grenzen in z-Werte um und berechne mit Φ(2) = 0,9772 und Φ(−1,5) = 0,0668 den Anteil der brauchbaren Bolzen.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Beide Grenzen werden mit z = (x − μ)/σ umgerechnet. Die Wahrscheinlichkeit für das Intervall ist die Differenz der beiden Φ-Werte.
Es ist Φ(1) = 0,8413. Wie groß ist Φ(−1)?
Erklärung: Die Fläche links von −1 ist genauso groß wie die Fläche rechts von 1: Φ(−1) = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587. Eine Wahrscheinlichkeit kann nicht negativ sein.
Für jedes z gilt Φ(−z) = −Φ(z).
Erklärung: Φ ist eine Wahrscheinlichkeit und nie negativ. Richtig ist Φ(−z) = 1 − Φ(z): die linke Randfläche ist so groß wie die rechte.
X ist normalverteilt mit μ = 172 und σ = 8, und es ist Φ(−2) = 0,0228. Wie groß ist die gefärbte Fläche, also P(X ≥ 188)?
Erklärung: Rechts von 188 (z = 2) liegt die Randfläche 1 − Φ(2) = Φ(−2) = 0,0228. 0,9772 wäre die Fläche links, 0,0456 beide Ränder zusammen.
Es ist Φ(2) = 0,9772. Berechne Φ(−2).
Erklärung: Φ(−2) = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,0228.
X ist normalverteilt mit μ = 172 und σ = 8; es ist Φ(1,5) = 0,9332. Berechne P(X ≤ 160).
Erklärung: z(160) = (160 − 172)/8 = −1,5. P(X ≤ 160) = Φ(−1,5) = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,0668.