Wahrscheinlichkeiten für Intervalle

Probabilities of intervals

Mathematik Klasse 13 16 Aufgaben

WahrscheinlichkeitNormalverteilungStandardisierung

Jede Normalverteilung lässt sich auf die Standardnormalverteilung (μ = 0, σ = 1) zurückführen: z = (x − μ)/σ zählt, wie viele σ x von μ entfernt liegt, und F(x) = Φ(z). Dann gilt P(a ≤ X ≤ b) = Φ(z_b) − Φ(z_a); negative z-Werte und „mindestens“ laufen über Φ(−z) = 1 − Φ(z). Die Werte von Φ liefern Tabellen oder Software. Räumt aus, ohne Umrechnung Φ(b) zu bilden, x − μ nicht durch σ zu teilen oder Φ(−z) = −Φ(z) zu setzen. Bereitet die Sigma-Regeln vor.

Auf z umrechnen

Für jedes Paar μ, σ bräuchte man eine eigene Tabelle. Deshalb rechnet man auf die Standardnormalverteilung (μ = 0, σ = 1) um. Der z-Wert sagt, wie viele σ ein Wert x von μ entfernt liegt:

$z = \frac{x - μ}{σ}$

Für die Körpergröße (μ = 172, σ = 8) ist $z (180) = 1$ und $z (164) = - 1$ . Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung heißt Φ, und es gilt $F (x) = Φ (z)$ . Ihre Werte liefern Tabellen oder Software, etwa $Φ (1) \approx 0, 8413$ ; in den Aufgaben sind sie gegeben. Ein Jugendlicher mit 188 cm liegt 2σ über dem Mittel, einer mit 160 cm liegt 1,5σ darunter, $z = - 1, 5$ .

Schiebe x. Wann ist z = 0, und was ist dann F(x)?

Intervalle mit Φ

Ein Intervall ist eine Differenz, wie schon bei F. Man rechnet beide Grenzen um:

$P (a \leq X \leq b) = Φ (z_{b}) - Φ (z_{a})$

$z_{a} = \frac{a - μ}{σ}, z_{b} = \frac{b - μ}{σ}$

Für $P (168 \leq X \leq 188)$ ist $z_{a} = - 0, 5$ und $z_{b} = 2$ , die Fläche also $Φ (2) - Φ (- 0, 5)$ . Setzt man 168 und 188 direkt in Φ ein, rechnet man für eine andere Verteilung.

Ziehe a und b. Welche z-Werte gehören zu 164 und 180, und wie groß ist die Fläche?

Negative z und „mindestens“

Tabellen enthalten oft nur positive z. Die Kurve ist symmetrisch, also sind die Ränder links von −z und rechts von z gleich groß: $Φ (- z) = 1 - Φ (z)$ . Aus $Φ (1) \approx 0, 8413$ folgt $Φ (- 1) \approx 0, 1587$ . „Mindestens b“ ist das Gegenereignis: $P (X \geq b) = 1 - Φ (z_{b})$ . Die Eingangsfrage: Wegen $z (188) = 2$ und $Φ (2) \approx 0, 9772$ ist $P (X \geq 188) = 1 - 0, 9772 = 0, 0228$ , also sind etwa 2,3 % der Jugendlichen größer als 188 cm.

Vergleiche die beiden grauen Ränder. Was folgt daraus für Φ(−1)?

Voraussetzungen (2)

Die Verteilungsfunktion

Ermöglicht (1)

Sigma-Regeln und symmetrische Intervalle

Klasse 13

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

X ist normalverteilt mit μ = 172 und σ = 8. Wie lautet der z-Wert von x = 188?

● 2
○ 16
○ 23,5

z = (x − μ)/σ = (188 − 172)/8 = 16/8 = 2. Wer nur x − μ = 16 nimmt, hat nicht durch σ geteilt; 188/8 = 23,5 ignoriert μ.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

X ist normalverteilt mit μ = 50 und σ = 10. Wie lautet der z-Wert von x = 35?

● −1,5
○ 1,5
○ −15

z = (35 − 50)/10 = −15/10 = −1,5. x liegt unter μ, also ist z negativ. −15 ist die Differenz ohne Teilen durch σ.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Für μ = 100 und σ = 15 hat x = 130 den z-Wert 2.

✓ Wahr

z = (130 − 100)/15 = 30/15 = 2. x liegt 2σ über μ.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

X ist normalverteilt mit μ = 172 und σ = 8. Wie berechnet man P(164 ≤ X ≤ 188) mit Φ?

● Φ(2) − Φ(−1)
○ Φ(188) − Φ(164)
○ Φ(2) + Φ(−1)

Umrechnen: z(188) = (188 − 172)/8 = 2 und z(164) = (164 − 172)/8 = −1. Dann Φ(2) − Φ(−1). Φ(188) − Φ(164) setzt die Grenzen ohne Umrechnung ein, die Summe passt nicht zu einer Fläche zwischen zwei Grenzen.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Für ein normalverteiltes X mit μ = 172 und σ = 8 ist P(X ≤ 180) = Φ(1).

✓ Wahr

Erst umrechnen: z = (180 − 172)/8 = 1, also P(X ≤ 180) = Φ(1). Φ(180) wäre falsch, denn Φ gehört zur Standardnormalverteilung.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

X ist normalverteilt mit μ = 172 und σ = 8. Welcher Term liefert die gefärbte Fläche?

● Φ(2) − Φ(0)
○ Φ(2)
○ Φ(2) − Φ(−2)

Die Fläche geht von 172 (z = 0) bis 188 (z = 2): Φ(2) − Φ(0). Φ(2) allein wäre alles links von 188, Φ(2) − Φ(−2) die Mitte von 156 bis 188.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Es ist Φ(1) = 0,8413. Wie groß ist Φ(−1)?

● 0,1587
○ −0,8413
○ 0,8413

Die Fläche links von −1 ist genauso groß wie die Fläche rechts von 1: Φ(−1) = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587. Eine Wahrscheinlichkeit kann nicht negativ sein.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Für jedes z gilt Φ(−z) = −Φ(z).

✓ Falsch

Φ ist eine Wahrscheinlichkeit und nie negativ. Richtig ist Φ(−z) = 1 − Φ(z): die linke Randfläche ist so groß wie die rechte.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

X ist normalverteilt mit μ = 172 und σ = 8, und es ist Φ(−2) = 0,0228. Wie groß ist die gefärbte Fläche, also P(X ≥ 188)?

● 0,0228
○ 0,9772
○ 0,0456

Rechts von 188 (z = 2) liegt die Randfläche 1 − Φ(2) = Φ(−2) = 0,0228. 0,9772 wäre die Fläche links, 0,0456 beide Ränder zusammen.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

X ist normalverteilt mit μ = 172 und σ = 8. Berechne den z-Wert von x = 160.

✓ Antwort: -1.5

z = (160 − 172)/8 = −12/8 = −1,5.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

X ist normalverteilt mit μ = 172 und σ = 8. Mit Φ(0,5) = 0,6915 und Φ(−0,5) = 0,3085: Berechne P(168 ≤ X ≤ 176).

✓ Antwort: 0.383

z(176) = 0,5 und z(168) = −0,5. P = Φ(0,5) − Φ(−0,5) = 0,6915 − 0,3085 = 0,3830.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Es ist Φ(2) = 0,9772. Berechne Φ(−2).

✓ Antwort: 0.0228

Φ(−2) = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,0228.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

X ist normalverteilt mit μ = 40 und σ = 5. Welches x gehört zu z = 1,2?

✓ Antwort: 46

Aus z = (x − μ)/σ folgt x = μ + z · σ = 40 + 1,2 · 5 = 46.

Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

X ist normalverteilt mit μ = 172 und σ = 8. Mit Φ(1,5) = 0,9332 und Φ(0,5) = 0,6915: Berechne P(176 ≤ X ≤ 184).

✓ Antwort: 0.2417

z(184) = 1,5 und z(176) = 0,5. P = Φ(1,5) − Φ(0,5) = 0,9332 − 0,6915 = 0,2417.

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Die Länge X der Bolzen einer Maschine ist normalverteilt mit μ = 40,0 mm und σ = 0,2 mm. Bolzen zwischen 39,7 mm und 40,4 mm sind brauchbar. Rechne die Grenzen in z-Werte um und berechne mit Φ(2) = 0,9772 und Φ(−1,5) = 0,0668 den Anteil der brauchbaren Bolzen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: z(39,7) = (39,7 − 40,0)/0,2 = −1,5 und z(40,4) = (40,4 − 40,0)/0,2 = 2. P(39,7 ≤ X ≤ 40,4) = Φ(2) − Φ(−1,5) = 0,9772 − 0,0668 = 0,9104, also etwa 91,0 % der Bolzen.

Beide Grenzen werden mit z = (x − μ)/σ umgerechnet. Die Wahrscheinlichkeit für das Intervall ist die Differenz der beiden Φ-Werte.

Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

X ist normalverteilt mit μ = 172 und σ = 8; es ist Φ(1,5) = 0,9332. Berechne P(X ≤ 160).

✓ Antwort: 0.0668

z(160) = (160 − 172)/8 = −1,5. P(X ≤ 160) = Φ(−1,5) = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,0668.