μ und σ ablesen
Die Kurve ist die Dichtefunktion einer normalverteilten Größe X. Welchen Erwartungswert μ hat X?
Erklärung: μ liegt auf der Symmetrieachse, dort ist der Gipfel: bei x = 3. Die Höhe des Gipfels (≈ 0,4) ist nicht μ, und 1 ist hier die Streuung σ.
Die beiden Kurven sind gleich geformt. Die orange Kurve gehört zum größeren Erwartungswert μ.
Erklärung: Die orange Kurve ist die um 3 nach rechts verschobene blaugrüne: ihr Gipfel liegt bei 5, der andere bei 2. μ ist die Lage des Gipfels, also ist μ bei Orange größer. Die Form (σ) ist gleich.
Vergrößert man μ (bei gleichem σ), wird die Kurve breiter.
Erklärung: μ verschiebt die Kurve nur nach rechts, ihre Breite und Höhe bleiben gleich. Die Breite hängt an σ.
Die Dichtefunktion einer normalverteilten Größe ist symmetrisch zur Geraden x = 12. Wie groß ist μ?
Erklärung: Der Gipfel und die Symmetrieachse liegen bei x = μ, also μ = 12.
Bei einer normalverteilten Größe mit μ = 50 gilt f(45) = f(x) für ein x ≠45. Wie groß ist x?
Erklärung: Symmetrisch zu μ = 50 gehört zu 45 (5 links von μ) die Stelle 50 + 5 = 55: 2 · 50 − 45 = 55.
Die Punkte markieren die Wendestellen der Dichte einer Normalverteilung mit μ = 5. Wie groß ist σ?
Erklärung: Die Wendestellen liegen bei μ − σ und μ + σ: 5 − σ = 2 und 5 + σ = 8, also σ = 3. Der Abstand der beiden Punkte (6) ist 2σ, und 5 ist μ.
Wird σ größer (bei gleichem μ), wird die Kurve höher und schmaler.
Erklärung: Ein größeres σ streut die Werte weiter: Die Kurve wird breiter und dafür niedriger. Die Gesamtfläche bleibt 1.
Beide Kurven haben μ = 3. Welche Kurve gehört zum größeren σ?
Erklärung: Größeres σ heißt breiter und niedriger: Das ist die orange Kurve. Gleich sind nur die Flächen (1), nicht die Streuung.
Die Wendestellen einer Normalverteilung liegen bei 34 und 46. Wie groß ist σ?
Erklärung: Die Wendestellen sind μ − σ und μ + σ. Ihre Mitte ist μ = 40, ihr Abstand 12 = 2σ, also σ = 6.
Eine normalverteilte Größe hat σ = 0,25. Wie hoch ist der Gipfel der Dichte? Rechne mit 0,399 : σ (zwei Dezimalen).
Erklärung: Gipfelhöhe ≈ 0,399 : 0,25 = 1,596, gerundet 1,60. Eine Dichte darf über 1 liegen: Die Kurve ist sehr schmal.
Der Exponent einer Normalverteilungsdichte ist −(x − 7)²/32. Welche Werte haben μ und σ?
Erklärung: Aus (x − 7) folgt μ = 7. Der Nenner ist 2σ² = 32, also σ² = 16 und σ = 4. Wer σ = 32 liest, hat den ganzen Nenner genommen; μ = −7 wäre das Vorzeichen falsch übertragen.
Der Exponent ist −(x + 3)²/2. Welche Werte haben μ und σ?
Erklärung: x + 3 = x − (−3), also μ = −3. Der Nenner 2σ² = 2 gibt σ² = 1, σ = 1. Bei σ = 2 wäre der Nenner 8.
In f(x) = 1/(2√(2π)) · e^(−(x − 10)²/8) ist σ = 2.
Erklärung: Der Vorfaktor 1/(2√(2π)) zeigt σ = 2, und der Nenner 8 = 2 · 2² passt dazu. Zugleich ist μ = 10.
Es ist f(x) = 1/(5√(2π)) · e^(−(x − 62)²/50). Wie groß ist σ?
Erklärung: Im Vorfaktor 1/(σ√(2π)) steht σ = 5. Kontrolle: 2σ² = 2 · 25 = 50 ist der Nenner im Exponenten. (μ = 62.)
Eine Normalverteilung hat μ = 20 und σ = 6. Welche Zahl steht im Nenner des Exponenten −(x − 20)²/___?
Erklärung: Der Nenner ist 2σ² = 2 · 36 = 72.
Die Dichtefunktion einer Zufallsgröße X ist f(x) = 1/(4√(2π)) · e^(−(x − 60)²/32). Lies μ und σ auf zwei Wegen ab (aus dem Exponenten und aus dem Vorfaktor), gib den Gipfel mit seiner Höhe und die beiden Wendestellen an.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Der Term hat die Form 1/(σ√(2π)) · e^(−(x−μ)²/(2σ²)). Der Vergleich liefert μ = 60 und σ = 4 auf beiden Wegen; die Wendestellen liegen bei μ ± σ.