μ und σ ablesen

Reading μ and σ

Mathematik Klasse 13 16 Aufgaben
WahrscheinlichkeitNormalverteilungStandardabweichung

Die Dichte der Normalverteilung ist symmetrisch zur Geraden x = μ, dort liegt der Gipfel; σ ist der Abstand der Wendestellen von μ und bestimmt die Breite: größeres σ heißt breiter und niedriger, die Fläche bleibt 1. Im Term steht μ in (x − μ)², σ im Vorfaktor 1/(σ√(2π)) und im Nenner 2σ² des Exponenten. Räumt aus, μ sei die Höhe des Gipfels, σ die ganze Breite oder der Nenner 2σ². Bereitet die Standardisierung und die Sigma-Regeln vor.

Die Mitte μ

Die Dichte der Normalverteilung ist symmetrisch zu einer senkrechten Achse. Auf dieser Achse liegt der Gipfel, und ihre Stelle ist der Erwartungswert μ. Verschiebt man μ, wandert die ganze Kurve nach links oder rechts, ohne ihre Form zu ändern. μ ist also die Lage des Gipfels, nicht seine Höhe. Zwei Kurven mit gleichem σ sind gleich geformt, die eine ist nur verschoben.

Verschiebe μ. Was bleibt gleich, was ändert sich?

Die Streuung σ

Die Breite bestimmt σ. Bei liegen die Wendestellen der Kurve, dort wechselt sie von nach oben gekrümmt zu nach unten gekrümmt; das Bild markiert sie. Ein größeres σ macht die Kurve breiter und niedriger, die Fläche bleibt 1. Der Gipfel hat die Höhe . Merke die Rollen: μ sagt, wo die Kurve liegt, σ sagt, wie breit sie ist.

Ändere σ und beobachte die Punkte bei ±σ, die Höhe und die Gesamtfläche.

Aus dem Term

Die Dichte hat den Term

Man liest ab: μ ist die Zahl in , bei also . Im Nenner steht , nicht σ: Bei ist , also σ = 3, und der Vorfaktor bestätigt es. Der Vorfaktor sorgt dafür, dass die Fläche 1 bleibt: Wird σ größer, muss er kleiner werden.

Voraussetzungen (1)

Die Dichtefunktion
Klasse 13
›

Ermöglicht (1)

Wahrscheinlichkeiten für Intervalle
Klasse 13
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Die Kurve ist die Dichtefunktion einer normalverteilten Größe X. Welchen Erwartungswert μ hat X?

  • ● 3
  • ○ 0,4
  • ○ 1
μ liegt auf der Symmetrieachse, dort ist der Gipfel: bei x = 3. Die Höhe des Gipfels (≈ 0,4) ist nicht μ, und 1 ist hier die Streuung σ.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die beiden Kurven sind gleich geformt. Die orange Kurve gehört zum größeren Erwartungswert μ.

✓ Wahr
Die orange Kurve ist die um 3 nach rechts verschobene blaugrüne: ihr Gipfel liegt bei 5, der andere bei 2. μ ist die Lage des Gipfels, also ist μ bei Orange größer. Die Form (σ) ist gleich.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Vergrößert man μ (bei gleichem σ), wird die Kurve breiter.

✓ Falsch
μ verschiebt die Kurve nur nach rechts, ihre Breite und Höhe bleiben gleich. Die Breite hängt an σ.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Die Punkte markieren die Wendestellen der Dichte einer Normalverteilung mit μ = 5. Wie groß ist σ?

  • ● 3
  • ○ 6
  • ○ 5
Die Wendestellen liegen bei μ − σ und μ + σ: 5 − σ = 2 und 5 + σ = 8, also σ = 3. Der Abstand der beiden Punkte (6) ist 2σ, und 5 ist μ.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Wird σ größer (bei gleichem μ), wird die Kurve höher und schmaler.

✓ Falsch
Ein größeres σ streut die Werte weiter: Die Kurve wird breiter und dafür niedriger. Die Gesamtfläche bleibt 1.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Beide Kurven haben μ = 3. Welche Kurve gehört zum größeren σ?

  • ● die orange Kurve
  • ○ die blaugrüne Kurve
  • ○ beide, denn die Flächen sind gleich
Größeres σ heißt breiter und niedriger: Das ist die orange Kurve. Gleich sind nur die Flächen (1), nicht die Streuung.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Der Exponent einer Normalverteilungsdichte ist −(x − 7)²/32. Welche Werte haben μ und σ?

  • ● μ = 7, σ = 4
  • ○ μ = 7, σ = 32
  • ○ μ = −7, σ = 4
Aus (x − 7) folgt μ = 7. Der Nenner ist 2σ² = 32, also σ² = 16 und σ = 4. Wer σ = 32 liest, hat den ganzen Nenner genommen; μ = −7 wäre das Vorzeichen falsch übertragen.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Der Exponent ist −(x + 3)²/2. Welche Werte haben μ und σ?

  • ● μ = −3, σ = 1
  • ○ μ = 3, σ = 1
  • ○ μ = −3, σ = 2
x + 3 = x − (−3), also μ = −3. Der Nenner 2σ² = 2 gibt σ² = 1, σ = 1. Bei σ = 2 wäre der Nenner 8.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

In f(x) = 1/(2√(2π)) · e^(−(x − 10)²/8) ist σ = 2.

✓ Wahr
Der Vorfaktor 1/(2√(2π)) zeigt σ = 2, und der Nenner 8 = 2 · 2² passt dazu. Zugleich ist μ = 10.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Dichtefunktion einer normalverteilten Größe ist symmetrisch zur Geraden x = 12. Wie groß ist μ?

✓ Antwort: 12
Der Gipfel und die Symmetrieachse liegen bei x = μ, also μ = 12.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Wendestellen einer Normalverteilung liegen bei 34 und 46. Wie groß ist σ?

✓ Antwort: 6
Die Wendestellen sind μ − σ und μ + σ. Ihre Mitte ist μ = 40, ihr Abstand 12 = 2σ, also σ = 6.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Es ist f(x) = 1/(5√(2π)) · e^(−(x − 62)²/50). Wie groß ist σ?

✓ Antwort: 5
Im Vorfaktor 1/(σ√(2π)) steht σ = 5. Kontrolle: 2σ² = 2 · 25 = 50 ist der Nenner im Exponenten. (μ = 62.)
Schwer
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Bei einer normalverteilten Größe mit μ = 50 gilt f(45) = f(x) für ein x ≠ 45. Wie groß ist x?

✓ Antwort: 55
Symmetrisch zu μ = 50 gehört zu 45 (5 links von μ) die Stelle 50 + 5 = 55: 2 · 50 − 45 = 55.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Eine normalverteilte Größe hat σ = 0,25. Wie hoch ist der Gipfel der Dichte? Rechne mit 0,399 : σ (zwei Dezimalen).

✓ Antwort: 1.6
Gipfelhöhe ≈ 0,399 : 0,25 = 1,596, gerundet 1,60. Eine Dichte darf über 1 liegen: Die Kurve ist sehr schmal.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Eine Normalverteilung hat μ = 20 und σ = 6. Welche Zahl steht im Nenner des Exponenten −(x − 20)²/___?

✓ Antwort: 72
Der Nenner ist 2σ² = 2 · 36 = 72.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Die Dichtefunktion einer Zufallsgröße X ist f(x) = 1/(4√(2π)) · e^(−(x − 60)²/32). Lies μ und σ auf zwei Wegen ab (aus dem Exponenten und aus dem Vorfaktor), gib den Gipfel mit seiner Höhe und die beiden Wendestellen an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Aus (x − 60) folgt μ = 60. Exponent: 2σ² = 32, σ² = 16, σ = 4. Vorfaktor: 1/(σ√(2π)) = 1/(4√(2π)), also ebenfalls σ = 4. Gipfel bei x = 60 mit der Höhe 1/(4√(2π)) ≈ 0,0997. Wendestellen bei μ ± σ, also x = 56 und x = 64.
Der Term hat die Form 1/(σ√(2π)) · e^(−(x−μ)²/(2σ²)). Der Vergleich liefert μ = 60 und σ = 4 auf beiden Wegen; die Wendestellen liegen bei μ ± σ.