Sigma-Regeln und symmetrische Intervalle
Etwa wie groß ist bei einer Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass X höchstens 2σ von μ entfernt liegt?
Erklärung: Die 2σ-Regel: P(μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 0,954. 68,3 % gehören zu 1σ; 47,7 % ist nur die halbe Seite, von μ bis μ + 2σ.
Die Kurve gehört zu einer Normalverteilung mit μ = 172 und σ = 8. Etwa wie groß ist die gefärbte Fläche zwischen 148 und 196?
Erklärung: 148 = 172 − 3 · 8 und 196 = 172 + 3 · 8: Das Band ist μ ± 3σ, die Fläche also etwa 99,7 %. Bei 95,4 % würde das Band bei 156 und 188 enden.
Wie viel Prozent der Werte einer Normalverteilung liegen in [μ − 3σ; μ + 3σ]? (auf 0,1 % genau)
Erklärung: Die 3σ-Regel: P(μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) ≈ 0,997, also 99,7 %.
Eine Maschine füllt Beutel; die Masse ist normalverteilt mit μ = 500 g und σ = 5 g. Wie viel Prozent der Beutel wiegen zwischen 490 g und 510 g? (Sigma-Regel, auf 0,1 % genau)
Erklärung: 490 = 500 − 2 · 5 und 510 = 500 + 2 · 5: Das ist das 2σ-Intervall, also etwa 95,4 %.
Die Körpergröße ist normalverteilt mit μ = 172 cm und σ = 8 cm. Welches Intervall enthält etwa 68,3 % der Werte?
Erklärung: 68,3 % gehören zum 1σ-Intervall [μ − σ; μ + σ] = [172 − 8; 172 + 8] = [164; 180]. [156; 188] ist das 2σ-Intervall, [168; 176] wäre ± σ/2.
Für μ = 100 und σ = 15 liegen etwa 95,4 % der Werte im Intervall [70; 130].
Erklärung: 70 = 100 − 2 · 15 und 130 = 100 + 2 · 15: Das ist das 2σ-Intervall, in dem etwa 95,4 % liegen.
Es ist μ = 60 und σ = 4. Wie lautet die untere Grenze des 2σ-Intervalls?
Erklärung: μ − 2σ = 60 − 2 · 4 = 52.
Schrauben haben eine normalverteilte Länge mit μ = 40 mm und σ = 0,2 mm. Wie lautet die obere Grenze des 3σ-Intervalls (in mm)?
Erklärung: μ + 3σ = 40 + 3 · 0,2 = 40,6 mm.
Für ein normalverteiltes X soll ein um μ symmetrisches Intervall die Wahrscheinlichkeit 0,95 haben. Welche Bedingung gilt für die obere Grenze in z-Werten?
Erklärung: Die Restfläche 0,05 teilt sich auf beide Ränder: je 0,025. Links der oberen Grenze liegt also 1 − 0,025 = 0,975, es gilt Φ(z) = 0,975 und z = 1,96. Φ(z) = 0,95 würde nur 90 % in die Mitte legen.
Ein um μ symmetrisches Intervall mit der Wahrscheinlichkeit 90 % lässt links und rechts je 10 % übrig.
Erklärung: Es bleiben insgesamt 10 %, und die teilen sich auf beide Ränder: je 5 %.
Die beiden grauen Ränder sind gleich groß und zusammen 10 %. Wie groß ist Φ(z) an der rechten Grenze des weißen Bereichs?
Erklärung: Jeder Rand hat 5 %. Links der rechten Grenze liegen die Mitte und der linke Rand: 90 % + 5 % = 95 %, also Φ(z) = 0,95 (z ≈ 1,645).
Ein um μ symmetrisches Intervall soll die Wahrscheinlichkeit 0,99 haben. Wie groß ist die Randfläche auf jeder Seite?
Erklärung: Es bleiben 1 − 0,99 = 0,01, verteilt auf zwei Ränder: 0,01 : 2 = 0,005.
X ist normalverteilt mit μ = 172 und σ = 8. Aus Φ(1,96) = 0,975 folgt: Das symmetrische Intervall mit P = 0,95 hat die obere Grenze ___ (auf 0,01 genau).
Erklärung: Obere Grenze = μ + zσ = 172 + 1,96 · 8 = 187,68. Die untere Grenze ist 156,32.
Die Füllmenge X einer Abfüllanlage ist normalverteilt mit μ = 500 ml und σ = 4 ml. In welchem um μ symmetrischen Intervall liegen 95 % der Füllmengen? Benutze Φ(1,96) = 0,975 und begründe, warum man Φ(z) = 0,975 ansetzt und nicht Φ(z) = 0,95.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Das Intervall braucht auf jeder Seite einen Rand von 2,5 %. Deshalb liegt links der oberen Grenze die Fläche 0,975, nicht 0,95.
Die Körpergröße ist normalverteilt mit μ = 172 cm und σ = 8 cm. Welche Größe ist am ungewöhnlichsten?
Erklärung: 200 cm liegt (200 − 172)/8 = 3,5σ über μ, 188 cm nur 2σ und 180 cm 1σ. Je mehr σ, desto seltener der Wert.
Ein Wert außerhalb von μ ± 3σ kann bei einer Normalverteilung nicht auftreten.
Erklärung: Außerhalb von μ ± 3σ liegen etwa 0,3 % der Werte. Das ist selten, aber nicht unmöglich; die Dichte wird nirgends 0.
Wie viel Prozent der Werte einer Normalverteilung liegen außerhalb von [μ − 2σ; μ + 2σ]? (Sigma-Regel, auf 0,1 % genau)
Erklärung: Innerhalb liegen 95,4 %, also außerhalb 100 % − 95,4 % = 4,6 %.
Von 1000 Jugendlichen (μ = 172 cm, σ = 8 cm) sind nach der 3σ-Regel etwa wie viele kleiner als 148 cm oder größer als 196 cm? (auf ganze Personen gerundet)
Erklärung: 148 = μ − 3σ und 196 = μ + 3σ. Außerhalb liegen 0,3 % (genauer 0,27 %): 1000 · 0,0027 ≈ 2,7, also etwa 3 Jugendliche.