Sigma-Regeln und symmetrische Intervalle
Sigma rules and symmetric intervals
Bei jeder Normalverteilung liegen etwa 68,3 % der Werte in [μ − σ; μ + σ], 95,4 % in [μ − 2σ; μ + 2σ] und 99,7 % in [μ − 3σ; μ + 3σ]; gebräuchlich sind auch 1,64σ, 1,96σ und 2,58σ für 90 %, 95 % und 99 %. Ist die Wahrscheinlichkeit P vorgegeben, sucht man das symmetrische Intervall über Φ(z) = (1 + P)/2, denn die Restfläche teilt sich auf beide Ränder. Räumt aus, die Regeln einseitig zu lesen oder Φ(z) = P zu setzen, und dass Werte außerhalb 3σ unmöglich seien. Bereitet Toleranz- und Qualitätsaufgaben vor.
Die Sigma-Regeln
Bei jeder Normalverteilung hängt die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall um μ nur davon ab, wie viele
Für die Körpergröße heißt das: 68,3 % liegen in [164; 180], 95,4 % in [156; 188], 99,7 % in [148; 196]. Außerhalb von μ ± 2σ liegen nur etwa 4,6 %, außerhalb von μ ± 3σ etwa 0,3 %. Solche Werte sind ungewöhnlich, aber nicht unmöglich: 200 cm, also 3,5σ über μ, kommt selten vor. Die Prozente gelten für beide Seiten zusammen: Zwischen μ und μ + σ liegt nur die Hälfte von 68,3 %, also etwa 34,1 %.
Von der Wahrscheinlichkeit zum Intervall
Oft ist umgekehrt die Wahrscheinlichkeit P vorgegeben, und das um μ symmetrische Intervall wird gesucht. Die
Für P = 0,95 ist
Voraussetzungen (1)
Etwa wie groß ist bei einer Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass X höchstens 2σ von μ entfernt liegt?
Die Kurve gehört zu einer Normalverteilung mit μ = 172 und σ = 8. Etwa wie groß ist die gefärbte Fläche zwischen 148 und 196?
Die Körpergröße ist normalverteilt mit μ = 172 cm und σ = 8 cm. Welches Intervall enthält etwa 68,3 % der Werte?
Für μ = 100 und σ = 15 liegen etwa 95,4 % der Werte im Intervall [70; 130].
Für ein normalverteiltes X soll ein um μ symmetrisches Intervall die Wahrscheinlichkeit 0,95 haben. Welche Bedingung gilt für die obere Grenze in z-Werten?
Ein um μ symmetrisches Intervall mit der Wahrscheinlichkeit 90 % lässt links und rechts je 10 % übrig.
Die beiden grauen Ränder sind gleich groß und zusammen 10 %. Wie groß ist Φ(z) an der rechten Grenze des weißen Bereichs?
Die Körpergröße ist normalverteilt mit μ = 172 cm und σ = 8 cm. Welche Größe ist am ungewöhnlichsten?
Ein Wert außerhalb von μ ± 3σ kann bei einer Normalverteilung nicht auftreten.
Wie viel Prozent der Werte einer Normalverteilung liegen in [μ − 3σ; μ + 3σ]? (auf 0,1 % genau)
Es ist μ = 60 und σ = 4. Wie lautet die untere Grenze des 2σ-Intervalls?
Ein um μ symmetrisches Intervall soll die Wahrscheinlichkeit 0,99 haben. Wie groß ist die Randfläche auf jeder Seite?
Wie viel Prozent der Werte einer Normalverteilung liegen außerhalb von [μ − 2σ; μ + 2σ]? (Sigma-Regel, auf 0,1 % genau)
Eine Maschine füllt Beutel; die Masse ist normalverteilt mit μ = 500 g und σ = 5 g. Wie viel Prozent der Beutel wiegen zwischen 490 g und 510 g? (Sigma-Regel, auf 0,1 % genau)
Schrauben haben eine normalverteilte Länge mit μ = 40 mm und σ = 0,2 mm. Wie lautet die obere Grenze des 3σ-Intervalls (in mm)?
X ist normalverteilt mit μ = 172 und σ = 8. Aus Φ(1,96) = 0,975 folgt: Das symmetrische Intervall mit P = 0,95 hat die obere Grenze ___ (auf 0,01 genau).
Die Füllmenge X einer Abfüllanlage ist normalverteilt mit μ = 500 ml und σ = 4 ml. In welchem um μ symmetrischen Intervall liegen 95 % der Füllmengen? Benutze Φ(1,96) = 0,975 und begründe, warum man Φ(z) = 0,975 ansetzt und nicht Φ(z) = 0,95. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Von 1000 Jugendlichen (μ = 172 cm, σ = 8 cm) sind nach der 3σ-Regel etwa wie viele kleiner als 148 cm oder größer als 196 cm? (auf ganze Personen gerundet)