Die Verteilungsfunktion
Die gefĂ€rbte FlĂ€che unter der Dichtefunktion ist F(x) fĂŒr ein bestimmtes x. Welches x ist es?
ErklĂ€rung: F(x) ist die FlĂ€che links von x. Die FĂ€rbung reicht bis 180 (und weit ĂŒber die Mitte 172 hinaus), also x = 180. Bis 172 wĂ€re genau die halbe FlĂ€che gefĂ€rbt.
Die gefÀrbte FlÀche unter der Dichtefunktion liegt rechts von 180. Sie ist F(180) = P(X †180).
ErklĂ€rung: F(180) ist die FlĂ€che links von 180: alle Werte bis 180. Die gefĂ€rbte FlĂ€che rechts davon ist P(X â„ 180) = 1 â F(180).
FĂŒr die KörpergröĂe X gilt F(160) â 0,07. Was bedeutet das?
ErklĂ€rung: F(160) = P(X †160): der Anteil bis einschlieĂlich 160 cm, hier 7 %. âMindestens 160â wĂ€re 1 â F(160), und die Höhe der Dichte ist etwas anderes.
Von 500 Messwerten sind 60 höchstens so groà wie x. Welchen Wert hat F(x) ungefÀhr?
ErklÀrung: F(x) ist der Anteil der Werte bis x: 60 : 500 = 0,12.
Bei 1000 Jugendlichen gilt F(164) = 0,1587. Wie viele sind zu erwarten, die höchstens 164 cm groà sind? (auf ganze Personen gerundet)
ErklÀrung: 1000 · 0,1587 = 158,7, gerundet 159 Jugendliche.
Der Graph zeigt die Verteilungsfunktion F der KörpergröĂe. Wie verhalten sich F(172) und F(184) zueinander?
ErklĂ€rung: F(x) sammelt FlĂ€che: Von 172 bis 184 kommt FlĂ€che dazu, also ist F(184) gröĂer als F(172) (im Bild etwa 0,93 gegen 0,5). Dass F nach der Mitte wieder fĂ€llt, wĂ€re der Verlauf der Dichte f, nicht von F.
Der Graph zeigt eine Verteilungsfunktion.
ErklÀrung: Die Kurve steigt bis 172 und fÀllt dann wieder. Eine Verteilungsfunktion fÀllt nie, weil FlÀche nur dazukommt. Das ist der Graph einer Dichtefunktion.
Der Graph zeigt die Verteilungsfunktion F der KörpergröĂe. Wo wĂ€chst F am stĂ€rksten?
ErklĂ€rung: Die Steigung von F ist die Dichte: FâČ(x) = f(x). F ist am steilsten, wo f am höchsten ist, in der Mitte 172. Links und rechts flacht F ab.
FĂŒr die KörpergröĂe in cm ist F(100) ungefĂ€hr ___.
ErklĂ€rung: Praktisch kein Jugendlicher ist höchstens 100 cm groĂ: Die FlĂ€che links von 100 ist fast 0, F(100) â 0.
Die Dichtefunktion von X ist symmetrisch zur Mitte ÎŒ = 172. Wie groĂ ist F(172)?
ErklĂ€rung: Die Symmetrieachse teilt die GesamtflĂ€che 1 in zwei gleich groĂe HĂ€lften: F(172) = 0,5.
Wie berechnet man P(164 †X †180) mit der Verteilungsfunktion F?
ErklĂ€rung: Bis 180 liegt die FlĂ€che F(180); davon gehört der Teil bis 164 nicht zum Intervall: F(180) â F(164). Summe oder Quotient hĂ€tten mit der FlĂ€che dazwischen nichts zu tun.
FĂŒr die Wahrscheinlichkeit, dass X mindestens 180 ist, gilt P(X â„ 180) = F(180).
ErklĂ€rung: F(180) ist die Wahrscheinlichkeit fĂŒr höchstens 180. FĂŒr âmindestens 180â nimmt man die Gegenwahrscheinlichkeit: P(X â„ 180) = 1 â F(180).
Die graue FlÀche ist F(156) = 0,0228, grau und blau zusammen sind F(172) = 0,5. Was ist die blaue FlÀche?
ErklĂ€rung: Blau ist grau plus blau minus grau: F(172) â F(156) = 0,5 â 0,0228 = 0,4772 = P(156 †X †172). P(X †172) wĂ€re die ganze gefĂ€rbte FlĂ€che, P(X â„ 156) alles rechts von 156.
Es gilt F(180) = 0,8413 und F(164) = 0,1587. Berechne P(164 †X †180).
ErklĂ€rung: P(164 †X †180) = F(180) â F(164) = 0,8413 â 0,1587 = 0,6826.
Es gilt F(188) = 0,9772. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit, dass X gröĂer als 188 ist? (vier Dezimalen)
ErklĂ€rung: P(X > 188) = 1 â F(188) = 1 â 0,9772 = 0,0228. (Bei stetigen GröĂen ist P(X > 188) = P(X â„ 188).)
FĂŒr die KörpergröĂe X (in cm) sind gegeben: F(160) = 0,0668, F(168) = 0,3085, F(176) = 0,6915 und F(184) = 0,9332. Berechne (a) P(168 †X †176), (b) P(X > 184) und (c) P(160 < X †184). Skizziere jeweils die FlĂ€che unter der Dichtefunktion und erklĂ€re, welche FlĂ€chen du abziehst.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklÀrung: Jede Wahrscheinlichkeit ist eine FlÀche: Bei (a) und (c) zieht man von der FlÀche bis zur oberen Grenze die FlÀche bis zur unteren ab, bei (b) von der GesamtflÀche 1 die FlÀche bis 184.