Die Verteilungsfunktion

The distribution function

Mathematik Klasse 13 16 Aufgaben

WahrscheinlichkeitKumulative VerteilungsfunktionNormalverteilung

Die Verteilungsfunktion F(x) = P(X ≤ x) ist die Fläche links von x unter der Dichtefunktion. Ihr Graph ist eine S-Kurve: F wächst von 0 auf 1, fällt nie und ist bei der Mitte am steilsten, denn F′ = f. Ein Intervall entsteht durch Differenz, P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a). Räumt aus, F mit der Dichte f zu verwechseln oder P(X ≥ a) mit F(a). Bereitet die Wahrscheinlichkeiten für Intervalle und die Standardnormalverteilung Φ vor.

Die Fläche links von x

Oft fragt man nicht nach einem Intervall, sondern: Wie viele sind höchstens so groß wie x? Die Antwort gibt die Verteilungsfunktion $F (x) = P (X \leq x)$ . An der Dichtefunktion $f$ ist sie die Fläche links von x:

$F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t$

Schiebst du x nach rechts, kommt Fläche dazu, und F(x) wächst. Genau in der Mitte ist die Hälfte erreicht: $F (172) = 0, 5$ . Bei 164 sind es erst $F (164) \approx 0, 1587$ , also etwa 16 % der Jugendlichen. F beantwortet damit Fragen wie „Wie viel Prozent sind höchstens 164 cm groß?“ mit einer einzigen Zahl.

Schiebe x nach rechts. Wie groß ist F(x), wenn x genau in der Mitte liegt?

Der Graph von F

Trägt man F(x) über x auf, entsteht eine S-Kurve: $F$ steigt von 0 auf 1 und fällt nie, weil Fläche nur dazukommt. Am steilsten ist der Graph in der Mitte, wo die Dichte am höchsten ist. Das ist kein Zufall: Die Steigung von F ist die Dichte, $F^{'} (x) = f (x)$ . Bei einer diskreten Zufallsgröße wächst F treppenförmig; bei einer stetigen gibt es keine Sprünge, weil kein einzelner Wert Wahrscheinlichkeit trägt.

Der Graph von F: eine S-Kurve, die von 0 auf 1 wächst.

Intervalle mit F

Für ein Intervall zieht man ab: Die Fläche bis b enthält die Fläche bis a, also

$P (a \leq X \leq b) = F (b) - F (a)$

Mit $F (180) \approx 0, 8413$ und $F (164) \approx 0, 1587$ ist $P (164 \leq X \leq 180) \approx 0, 6826$ . „Mindestens a“ geht über das Gegenereignis: $P (X \geq a) = 1 - F (a)$ .

Ziehe a und b. Wie hängen die drei Chips zusammen?

Voraussetzungen (1)

Die Dichtefunktion

Klasse 13

›

Ermöglicht (1)

Wahrscheinlichkeiten für Intervalle

Klasse 13

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Die gefärbte Fläche unter der Dichtefunktion ist F(x) für ein bestimmtes x. Welches x ist es?

● x = 180
○ x = 172
○ x = 164

F(x) ist die Fläche links von x. Die Färbung reicht bis 180 (und weit über die Mitte 172 hinaus), also x = 180. Bis 172 wäre genau die halbe Fläche gefärbt.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die gefärbte Fläche unter der Dichtefunktion liegt rechts von 180. Sie ist F(180) = P(X ≤ 180).

✓ Falsch

F(180) ist die Fläche links von 180: alle Werte bis 180. Die gefärbte Fläche rechts davon ist P(X ≥ 180) = 1 − F(180).

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Für die Körpergröße X gilt F(160) ≈ 0,07. Was bedeutet das?

● 7 % der Jugendlichen sind höchstens 160 cm groß
○ 7 % der Jugendlichen sind mindestens 160 cm groß
○ Die Dichtefunktion hat bei 160 den Wert 0,07

F(160) = P(X ≤ 160): der Anteil bis einschließlich 160 cm, hier 7 %. „Mindestens 160“ wäre 1 − F(160), und die Höhe der Dichte ist etwas anderes.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Der Graph zeigt die Verteilungsfunktion F der Körpergröße. Wie verhalten sich F(172) und F(184) zueinander?

● F(184) > F(172)
○ F(184) < F(172)
○ F(184) = F(172)

F(x) sammelt Fläche: Von 172 bis 184 kommt Fläche dazu, also ist F(184) größer als F(172) (im Bild etwa 0,93 gegen 0,5). Dass F nach der Mitte wieder fällt, wäre der Verlauf der Dichte f, nicht von F.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Der Graph zeigt eine Verteilungsfunktion.

✓ Falsch

Die Kurve steigt bis 172 und fällt dann wieder. Eine Verteilungsfunktion fällt nie, weil Fläche nur dazukommt. Das ist der Graph einer Dichtefunktion.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Der Graph zeigt die Verteilungsfunktion F der Körpergröße. Wo wächst F am stärksten?

● bei x = 172
○ bei x = 156
○ bei x = 196

Die Steigung von F ist die Dichte: F′(x) = f(x). F ist am steilsten, wo f am höchsten ist, in der Mitte 172. Links und rechts flacht F ab.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Wie berechnet man P(164 ≤ X ≤ 180) mit der Verteilungsfunktion F?

● F(180) − F(164)
○ F(180) + F(164)
○ F(180) : F(164)

Bis 180 liegt die Fläche F(180); davon gehört der Teil bis 164 nicht zum Intervall: F(180) − F(164). Summe oder Quotient hätten mit der Fläche dazwischen nichts zu tun.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Für die Wahrscheinlichkeit, dass X mindestens 180 ist, gilt P(X ≥ 180) = F(180).

✓ Falsch

F(180) ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 180. Für „mindestens 180“ nimmt man die Gegenwahrscheinlichkeit: P(X ≥ 180) = 1 − F(180).

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Die graue Fläche ist F(156) = 0,0228, grau und blau zusammen sind F(172) = 0,5. Was ist die blaue Fläche?

● P(156 ≤ X ≤ 172)
○ P(X ≤ 172)
○ P(X ≥ 156)

Blau ist grau plus blau minus grau: F(172) − F(156) = 0,5 − 0,0228 = 0,4772 = P(156 ≤ X ≤ 172). P(X ≤ 172) wäre die ganze gefärbte Fläche, P(X ≥ 156) alles rechts von 156.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Von 500 Messwerten sind 60 höchstens so groß wie x. Welchen Wert hat F(x) ungefähr?

✓ Antwort: 0.12

F(x) ist der Anteil der Werte bis x: 60 : 500 = 0,12.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für die Körpergröße in cm ist F(100) ungefähr ___.

✓ Antwort: 0

Praktisch kein Jugendlicher ist höchstens 100 cm groß: Die Fläche links von 100 ist fast 0, F(100) ≈ 0.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Es gilt F(180) = 0,8413 und F(164) = 0,1587. Berechne P(164 ≤ X ≤ 180).

✓ Antwort: 0.6826

P(164 ≤ X ≤ 180) = F(180) − F(164) = 0,8413 − 0,1587 = 0,6826.

Schwer

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Bei 1000 Jugendlichen gilt F(164) = 0,1587. Wie viele sind zu erwarten, die höchstens 164 cm groß sind? (auf ganze Personen gerundet)

✓ Antwort: 159

1000 · 0,1587 = 158,7, gerundet 159 Jugendliche.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Dichtefunktion von X ist symmetrisch zur Mitte μ = 172. Wie groß ist F(172)?

✓ Antwort: 0.5

Die Symmetrieachse teilt die Gesamtfläche 1 in zwei gleich große Hälften: F(172) = 0,5.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Es gilt F(188) = 0,9772. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X größer als 188 ist? (vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.0228

P(X > 188) = 1 − F(188) = 1 − 0,9772 = 0,0228. (Bei stetigen Größen ist P(X > 188) = P(X ≥ 188).)

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Für die Körpergröße X (in cm) sind gegeben: F(160) = 0,0668, F(168) = 0,3085, F(176) = 0,6915 und F(184) = 0,9332. Berechne (a) P(168 ≤ X ≤ 176), (b) P(X > 184) und (c) P(160 < X ≤ 184). Skizziere jeweils die Fläche unter der Dichtefunktion und erkläre, welche Flächen du abziehst. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: (a) Fläche von 168 bis 176 = F(176) − F(168) = 0,6915 − 0,3085 = 0,3830. (b) Rechts von 184 liegt der Rest: 1 − F(184) = 1 − 0,9332 = 0,0668. (c) F(184) − F(160) = 0,9332 − 0,0668 = 0,8664.

Jede Wahrscheinlichkeit ist eine Fläche: Bei (a) und (c) zieht man von der Fläche bis zur oberen Grenze die Fläche bis zur unteren ab, bei (b) von der Gesamtfläche 1 die Fläche bis 184.