Drei Formen, drei Fragen
Die Parabel ist als f(x) = 3x² − 5x + 4 gegeben. In welchem Punkt schneidet sie die y-Achse?
Erklärung: In der allgemeinen Form ist c = 4 der y-Achsenabschnitt: f(0) = 4, also (0 | 4). Die −5 gehört zu b, und (4 | 0) vertauscht die Koordinaten.
Welche allgemeine Form hat f(x) = 2(x − 1)(x + 3)?
Erklärung: (x − 1)(x + 3) = x² + 2x − 3, mal 2 ergibt 2x² + 4x − 6. Bei − 3 wurde der Faktor 2 nicht auf das Absolutglied angewandt, bei − 4x wurde das Vorzeichen der Summe der Nullstellen verwechselt.
Die Funktion f(x) = 3(x − 2)² + 1 wird ausmultipliziert zu ax² + bx + c. Wie groß ist b?
Erklärung: 3(x − 2)² + 1 = 3(x² − 4x + 4) + 1 = 3x² − 12x + 13. Also ist b = −12 (und c = 13).
Wie groß ist der y-Achsenabschnitt von f(x) = −2(x + 3)(x − 1)?
Erklärung: f(0) = −2 · (0 + 3) · (0 − 1) = −2 · 3 · (−1) = 6. In der Nullstellenform ist der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar, man setzt x = 0 ein.
Welchen Scheitel hat f(x) = −3(x − 4)² + 7?
Erklärung: In a(x − xS)² + yS steht der Scheitel S(xS | yS) direkt: S(4 | 7). Die Klammer x − 4 verschiebt nach rechts, +7 nach oben; der Faktor −3 ändert nur die Öffnung.
Welche Scheitelpunktform gehört zum dargestellten Graphen (a = 1)?
Erklärung: Der Scheitel liegt bei S(3 | −2), also x − 3 in der Klammer und − 2 außen. (x + 3)² hätte den Scheitel links der y-Achse, (x − 2)² − 3 vertauscht die Koordinaten.
Wie groß ist der kleinste Funktionswert von f(x) = 4(x + 2)² − 3,5?
Erklärung: Wegen a = 4 öffnet die Parabel nach oben, der Scheitel S(−2 | −3,5) ist der tiefste Punkt. Der kleinste Wert ist −3,5.
Eine Parabel hat den Scheitel S(2 | −3) und geht durch den Punkt (4 | 5). Bestimme a in f(x) = a(x − 2)² − 3.
Erklärung: Punkt einsetzen: 5 = a · (4 − 2)² − 3 = 4a − 3, also 4a = 8 und a = 2.
Welche Nullstellen hat f(x) = 2(x + 4)(x − 1)?
Erklärung: Ein Faktor muss null sein: x + 4 = 0 gibt −4, x − 1 = 0 gibt 1. Der Faktor 2 ändert die Nullstellen nicht. Die Vorzeichen in den Klammern kehren sich um.
Welche Nullstellenform gehört zum dargestellten Graphen (a = 1)?
Erklärung: Die Nullstellen liegen bei −3 und 2. Die Faktoren sind (x − (−3)) = (x + 3) und (x − 2). (x − 3)(x + 2) hätte die Nullstellen 3 und −2, (x + 3)(x + 2) liegt beide links.
Wie lautet die größere Nullstelle von f(x) = 5(x + 3)(x − 8)?
Erklärung: x + 3 = 0 gibt x = −3, x − 8 = 0 gibt x = 8. Die größere Nullstelle ist 8.
Eine Parabel hat die Nullstellen 1 und 5 und geht durch den Punkt (0 | 10). Bestimme a in f(x) = a(x − 1)(x − 5).
Erklärung: Punkt einsetzen: 10 = a · (0 − 1) · (0 − 5) = 5a, also a = 2.
Die Parabel f(x) = x² − 2x − 8 ist auch als (x − 1)² − 9 und als (x + 2)(x − 4) darstellbar. Welche Schreibweise zeigt den Scheitel sofort?
Erklärung: Die Scheitelpunktform (x − 1)² − 9 zeigt S(1 | −9). Die Nullstellenform zeigt die Nullstellen −2 und 4, die allgemeine Form den y-Achsenabschnitt −8.
Die Parabel f(x) = x² − 7x + 10 ist auch als (x − 3,5)² − 2,25 und als (x − 2)(x − 5) darstellbar. Welche Schreibweise zeigt die Nullstellen sofort?
Erklärung: Die Nullstellenform (x − 2)(x − 5) zeigt die Nullstellen 2 und 5. Die Scheitelpunktform zeigt S(3,5 | −2,25), die allgemeine Form den y-Achsenabschnitt 10.
Eine Parabel hat die Nullstellen −3 und 7. Ihr Scheitel liegt bei x = 2.
Erklärung: Der Scheitel liegt wegen der Symmetrie genau in der Mitte der Nullstellen: (−3 + 7) : 2 = 2.
Eine Parabel hat die Nullstellen 2 und 10. Bei welchem x liegt ihr Scheitel?
Erklärung: Der Scheitel liegt in der Mitte der Nullstellen: (2 + 10) : 2 = 6.
Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat die Nullstellen −1 und 5. Wie groß ist ihr kleinster Funktionswert?
Erklärung: f(x) = (x + 1)(x − 5). Der Scheitel liegt bei x = (−1 + 5) : 2 = 2, und f(2) = 3 · (−3) = −9. Der kleinste Funktionswert ist −9.
Gegeben ist f(x) = x² − 6x + 5. Bestimme die Scheitelpunktform und die
Nullstellenform. Lies dann aus den drei Formen den y-Achsenabschnitt, den
Scheitel und die Nullstellen ab und begründe, warum der Scheitel genau in
der Mitte der beiden Nullstellen liegt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 4 = (x − 1)(x − 5). S(3 | −4), Nullstellen 1 und 5, y-Achsenabschnitt 5. Wegen der Symmetrie ist der Scheitel die Mitte der Nullstellen: (1 + 5) : 2 = 3.