Drei Formen, drei Fragen

Three forms, three questions

Mathematik Klasse 9 18 Aufgaben
FunktionenQuadratischParabelFaktorisieren

Eine quadratische Funktion hat drei Darstellungen: die allgemeine Form ax² + bx + c zeigt den y-Achsenabschnitt, die Scheitelpunktform a(x − xS)² + yS den Scheitel, die Nullstellenform a(x − x₁)(x − x₂) die Nullstellen. Der Abschnitt macht die Wahl der Form zur Frage der Aufgabe, übt den Wechsel mit Ausmultiplizieren, Ergänzen und Lösungsformel und lässt mit der Symmetrie argumentieren: Der Scheitel liegt in der Mitte der Nullstellen. Er räumt die Verwechslung von Funktion und Gleichung aus (Zaslavsky 1997) und bereitet das Modellieren in M9 2.2 vor.

Drei Schreibweisen, ein Graph

Dieselbe Parabel lässt sich auf drei Arten aufschreiben. In der allgemeinen Form ist die 5 der y-Achsenabschnitt. Die Scheitelpunktform zeigt den Scheitel . Die Nullstellenform zeigt die Nullstellen −1 und 5. Jede Form beantwortet eine Frage ohne Rechnung: Wo schneidet der Graph die y-Achse, wo liegt der Scheitel, wo liegen die Nullstellen? In der Nullstellenform sieht man auch die Öffnung: Der Vorfaktor −1 heißt nach unten.

Verändere a. Was bleibt an den Nullstellen gleich, was wandert?

Die passende Form wählen

Welche Form man braucht, sagt die Frage. Höchster Punkt gesucht: Scheitelpunktform. Wo trifft der Ball den Boden: Nullstellenform. Startwert bei : allgemeine Form. Zwischen den Formen wechselt man mit bekannten Mitteln: Ausmultiplizieren führt zur allgemeinen Form, quadratische Ergänzung zur Scheitelpunktform, die Lösungsformel zu den Nullstellen. Man kann damit auch argumentieren: Wegen der Symmetrie liegt der Scheitel genau in der Mitte der Nullstellen, . Bei −1 und 5 ist das . Für den Ball heißt das: Er landet bei x = 5; wie hoch er fliegt, sieht man erst in der Scheitelpunktform, nämlich 9.

Verschiebe x₁ und x₂. Wo liegt der Scheitel im Verhältnis zu den beiden Nullstellen?

Voraussetzungen (2)

Scheitel durch Ergänzen
Klasse 9
›
Lösungsformel und Diskriminante
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Die Parabel ist als f(x) = 3x² − 5x + 4 gegeben. In welchem Punkt schneidet sie die y-Achse?

  • ● (0 | 4)
  • ○ (0 | −5)
  • ○ (4 | 0)
In der allgemeinen Form ist c = 4 der y-Achsenabschnitt: f(0) = 4, also (0 | 4). Die −5 gehört zu b, und (4 | 0) vertauscht die Koordinaten.
Multiple Choice #2 35s ▶ Testen

Welche allgemeine Form hat f(x) = 2(x − 1)(x + 3)?

  • ● f(x) = 2x² + 4x − 6
  • ○ f(x) = 2x² − 4x − 6
  • ○ f(x) = 2x² + 4x − 3
(x − 1)(x + 3) = x² + 2x − 3, mal 2 ergibt 2x² + 4x − 6. Bei − 3 wurde der Faktor 2 nicht auf das Absolutglied angewandt, bei − 4x wurde das Vorzeichen der Summe der Nullstellen verwechselt.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welchen Scheitel hat f(x) = −3(x − 4)² + 7?

  • ● (4 | 7)
  • ○ (−4 | 7)
  • ○ (4 | −7)
In a(x − xS)² + yS steht der Scheitel S(xS | yS) direkt: S(4 | 7). Die Klammer x − 4 verschiebt nach rechts, +7 nach oben; der Faktor −3 ändert nur die Öffnung.
Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Welche Scheitelpunktform gehört zum dargestellten Graphen (a = 1)?

  • ● f(x) = (x − 3)² − 2
  • ○ f(x) = (x + 3)² − 2
  • ○ f(x) = (x − 2)² − 3
Der Scheitel liegt bei S(3 | −2), also x − 3 in der Klammer und − 2 außen. (x + 3)² hätte den Scheitel links der y-Achse, (x − 2)² − 3 vertauscht die Koordinaten.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welche Nullstellen hat f(x) = 2(x + 4)(x − 1)?

  • ● −4 und 1
  • ○ 4 und −1
  • ○ −4 und −1
Ein Faktor muss null sein: x + 4 = 0 gibt −4, x − 1 = 0 gibt 1. Der Faktor 2 ändert die Nullstellen nicht. Die Vorzeichen in den Klammern kehren sich um.
Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Welche Nullstellenform gehört zum dargestellten Graphen (a = 1)?

  • ● f(x) = (x + 3)(x − 2)
  • ○ f(x) = (x − 3)(x + 2)
  • ○ f(x) = (x + 3)(x + 2)
Die Nullstellen liegen bei −3 und 2. Die Faktoren sind (x − (−3)) = (x + 3) und (x − 2). (x − 3)(x + 2) hätte die Nullstellen 3 und −2, (x + 3)(x + 2) liegt beide links.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Die Parabel f(x) = x² − 2x − 8 ist auch als (x − 1)² − 9 und als (x + 2)(x − 4) darstellbar. Welche Schreibweise zeigt den Scheitel sofort?

  • ● f(x) = (x − 1)² − 9
  • ○ f(x) = (x + 2)(x − 4)
  • ○ f(x) = x² − 2x − 8
Die Scheitelpunktform (x − 1)² − 9 zeigt S(1 | −9). Die Nullstellenform zeigt die Nullstellen −2 und 4, die allgemeine Form den y-Achsenabschnitt −8.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Die Parabel f(x) = x² − 7x + 10 ist auch als (x − 3,5)² − 2,25 und als (x − 2)(x − 5) darstellbar. Welche Schreibweise zeigt die Nullstellen sofort?

  • ● f(x) = (x − 2)(x − 5)
  • ○ f(x) = (x − 3,5)² − 2,25
  • ○ f(x) = x² − 7x + 10
Die Nullstellenform (x − 2)(x − 5) zeigt die Nullstellen 2 und 5. Die Scheitelpunktform zeigt S(3,5 | −2,25), die allgemeine Form den y-Achsenabschnitt 10.
Wahr / Falsch #9 20s ▶ Testen

Eine Parabel hat die Nullstellen −3 und 7. Ihr Scheitel liegt bei x = 2.

✓ Wahr
Der Scheitel liegt wegen der Symmetrie genau in der Mitte der Nullstellen: (−3 + 7) : 2 = 2.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = 3(x − 2)² + 1 wird ausmultipliziert zu ax² + bx + c. Wie groß ist b?

✓ Antwort: -12
3(x − 2)² + 1 = 3(x² − 4x + 4) + 1 = 3x² − 12x + 13. Also ist b = −12 (und c = 13).
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Wie groß ist der kleinste Funktionswert von f(x) = 4(x + 2)² − 3,5?

✓ Antwort: -3.5
Wegen a = 4 öffnet die Parabel nach oben, der Scheitel S(−2 | −3,5) ist der tiefste Punkt. Der kleinste Wert ist −3,5.
Zahleneingabe #3 15s ▶ Testen

Wie lautet die größere Nullstelle von f(x) = 5(x + 3)(x − 8)?

✓ Antwort: 8
x + 3 = 0 gibt x = −3, x − 8 = 0 gibt x = 8. Die größere Nullstelle ist 8.
Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

Eine Parabel hat die Nullstellen 2 und 10. Bei welchem x liegt ihr Scheitel?

✓ Antwort: 6
Der Scheitel liegt in der Mitte der Nullstellen: (2 + 10) : 2 = 6.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Wie groß ist der y-Achsenabschnitt von f(x) = −2(x + 3)(x − 1)?

✓ Antwort: 6
f(0) = −2 · (0 + 3) · (0 − 1) = −2 · 3 · (−1) = 6. In der Nullstellenform ist der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar, man setzt x = 0 ein.
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Eine Parabel hat den Scheitel S(2 | −3) und geht durch den Punkt (4 | 5). Bestimme a in f(x) = a(x − 2)² − 3.

✓ Antwort: 2
Punkt einsetzen: 5 = a · (4 − 2)² − 3 = 4a − 3, also 4a = 8 und a = 2.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Eine Parabel hat die Nullstellen 1 und 5 und geht durch den Punkt (0 | 10). Bestimme a in f(x) = a(x − 1)(x − 5).

✓ Antwort: 2
Punkt einsetzen: 10 = a · (0 − 1) · (0 − 5) = 5a, also a = 2.
Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat die Nullstellen −1 und 5. Wie groß ist ihr kleinster Funktionswert?

✓ Antwort: -9
f(x) = (x + 1)(x − 5). Der Scheitel liegt bei x = (−1 + 5) : 2 = 2, und f(2) = 3 · (−3) = −9. Der kleinste Funktionswert ist −9.
KI-bewertete Rechnung #5 420s ▶ Testen

Gegeben ist f(x) = x² − 6x + 5. Bestimme die Scheitelpunktform und die Nullstellenform. Lies dann aus den drei Formen den y-Achsenabschnitt, den Scheitel und die Nullstellen ab und begründe, warum der Scheitel genau in der Mitte der beiden Nullstellen liegt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Scheitelpunktform: x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4, Scheitel S(3 | −4). Nullstellen: (x − 3)² = 4, x = 1 oder x = 5, also Nullstellenform (x − 1)(x − 5). y-Achsenabschnitt c = 5. Die Parabel ist symmetrisch zur senkrechten Geraden durch den Scheitel; die Nullstellen liegen gleich weit von x = 3 entfernt (2 links, 2 rechts), also ist x_S = (1 + 5) : 2 = 3.
x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 4 = (x − 1)(x − 5). S(3 | −4), Nullstellen 1 und 5, y-Achsenabschnitt 5. Wegen der Symmetrie ist der Scheitel die Mitte der Nullstellen: (1 + 5) : 2 = 3.