Eigenschaften am Graphen
Welche Wertemenge hat f(x) = −(x − 1)² + 4?
Erklärung: Wegen a = −1 öffnet die Parabel nach unten, der Scheitel S(1 | 4) ist der höchste Punkt: alle Werte sind höchstens 4. Bei y ≥ 4 wäre die Parabel nach oben geöffnet, die 1 ist die x-Koordinate des Scheitels und gehört nicht zur Wertemenge.
Wie groß ist der größte Funktionswert der dargestellten Funktion?
Erklärung: Der höchste Punkt der Parabel liegt bei S(−1 | 6). Der größte Funktionswert ist die y-Koordinate 6, nicht die x-Koordinate −1. Die 5 ist der Wert bei x = 0, also der y-Achsenabschnitt.
Wie groß ist der kleinste Funktionswert von f(x) = 2(x − 3)² − 5?
Erklärung: Wegen a = 2 öffnet die Parabel nach oben, der Scheitel S(3 | −5) ist der tiefste Punkt. Der kleinste Funktionswert ist −5.
Ein Ball fliegt auf der Bahn h(x) = −0,5(x − 4)² + 7 (x und h in m). Wie hoch fliegt er höchstens (in m)?
Erklärung: Die Bahn öffnet nach unten (a = −0,5), der Scheitel S(4 | 7) ist der höchste Punkt. Die größte Höhe ist 7 m, erreicht bei x = 4 m.
In welchem Bereich fällt der Graph von f(x) = (x − 2)² + 1?
Erklärung: Die Parabel öffnet nach oben, links vom Scheitel S(2 | 1) fällt der Graph, rechts steigt er. Der Wechsel geschieht bei der x-Koordinate 2 des Scheitels, nicht bei 1.
In welchem Bereich steigt der dargestellte Graph?
Erklärung: Die Parabel öffnet nach unten. Links vom höchsten Punkt (x = 3) steigt sie, rechts davon fällt sie. Bei x < 0 wäre nur ein Teil des steigenden Astes beschrieben.
An welcher Stelle x wechselt f(x) = (x + 4)² − 9 vom Fallen zum Steigen?
Erklärung: Der Wechsel geschieht beim Scheitel S(−4 | −9), also bei x = −4. Das Vorzeichen in der Klammer kehrt sich um: (x + 4) wird bei x = −4 null.
Bei f(x) = −(x − 2)² + 9 gilt f(1) = 8. Für welches x > 2 ist der Funktionswert ebenfalls 8?
Erklärung: Die Parabel ist symmetrisch zur senkrechten Geraden durch den Scheitel bei x = 2. Zu x = 1 (1 links vom Scheitel) gehört x = 3 (1 rechts): f(3) = −1 + 9 = 8.
Eine nach oben geöffnete Parabel hat die Nullstellen −2 und 4. Wo gilt f(x) < 0?
Erklärung: Eine nach oben geöffnete Parabel liegt zwischen ihren Nullstellen unter der x-Achse, dort ist f(x) < 0. Außerhalb liegt sie darüber. „x < 4“ würde auch den Bereich links von −2 einschließen.
Für welche x gilt bei der dargestellten Funktion f(x) > 0?
Erklärung: Die Parabel öffnet nach unten und liegt zwischen den Nullstellen −1 und 3 über der x-Achse: f(x) > 0. Außerhalb liegt sie darunter. „x > 1“ verwechselt die Nullstellen mit der Lage des Scheitels bei x = 1.
Die Parabel f(x) = (x + 3)(x − 5) öffnet nach oben. Wie viele ganze Zahlen x erfüllen f(x) < 0?
Erklärung: f(x) < 0 gilt zwischen den Nullstellen −3 und 5, für −3 < x < 5. Die ganzen Zahlen sind −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, das sind 7. Die Nullstellen selbst zählen nicht (f = 0).
Die Parabel f(x) = −(x + 1)(x − 4) öffnet nach unten. Wie viele ganze Zahlen x erfüllen f(x) > 0?
Erklärung: Nach unten geöffnet ist f(x) > 0 zwischen den Nullstellen −1 und 4, für −1 < x < 4. Die ganzen Zahlen sind 0, 1, 2, 3, das sind 4.
In welchem Punkt schneidet der Graph von f(x) = 2x² − 3x − 7 die y-Achse?
Erklärung: Auf der y-Achse ist x = 0, also f(0) = −7 = c. Der Schnittpunkt ist (0 | −7). (−7 | 0) vertauscht die Koordinaten, die 2 ist der Faktor a.
Bei welchem y-Wert schneidet der dargestellte Graph die y-Achse?
Erklärung: Der Graph kreuzt die y-Achse unterhalb des Ursprungs bei y = −3. Die Werte 3 und −1 sind Nullstellen (x-Werte), nicht der y-Achsenabschnitt.
Wie lautet der y-Achsenabschnitt von f(x) = 2(x − 1)² − 5?
Erklärung: f(0) = 2 · (0 − 1)² − 5 = 2 · 1 − 5 = −3. In der Scheitelform ist der y-Achsenabschnitt nicht sofort sichtbar, man setzt x = 0 ein.
Ein Ball fliegt auf der Bahn h(x) = −0,25x² + x + 1,5 (x und h in m). In welcher Höhe wird er abgeworfen (in m)?
Erklärung: Abgeworfen wird er bei x = 0: h(0) = 1,5. Das ist das Absolutglied c der Form ax² + bx + c.
Gegeben ist f(x) = x² − 2x − 8. Bestimme durch quadratische Ergänzung den
Scheitel, berechne die Nullstellen und den y-Achsenabschnitt und gib
Wertemenge, Monotonieverhalten und die Bereiche mit f(x) < 0 an. Skizziere
den Graphen.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: f(x) = (x − 1)² − 9 mit S(1 | −9). Die Nullstellen sind −2 und 4, der y-Achsenabschnitt −8. Zwischen den Nullstellen ist f(x) < 0; die Wertemenge ist W = {y | y ≥ −9}.