Eigenschaften am Graphen

Properties from the graph

Mathematik Klasse 9 17 Aufgaben
FunktionenQuadratischNullstellenMonotonie

Am Graphen einer quadratischen Funktion liest man Wertemenge, größten oder kleinsten Funktionswert, Monotonieverhalten, Nullstellen, Vorzeichenintervalle und y-Achsenabschnitt ab, ohne zu rechnen. Der Scheitel trennt Steigen und Fallen und liefert den Extremwert. Der Abschnitt räumt typische Leseirrtümer aus: höchster und tiefster Punkt vertauscht, x- statt y-Koordinate als Extremwert, Nullstelle als y-Achsenabschnitt (Leinhardt, Zaslavsky & Stein 1990; Zaslavsky 1997). Er bereitet Kurvendiskussion und Extremwertprobleme vor.

Extremwert und Verlauf

Die Funktion hat die Scheitelform . Wegen öffnet die Parabel nach unten, der Scheitel ist ihr höchster Punkt. Der größte Funktionswert ist 9, einen kleinsten gibt es nicht. Die Wertemenge ist . Beim Extremwert zählt die y-Koordinate: 9 ist der Wert, 2 die Stelle, an der er angenommen wird.

Auch der Verlauf hängt am Scheitel: Links davon steigt der Graph, rechts davon fällt er, bei ist es umgekehrt. Das nennt man das Monotonieverhalten.

Führe P über den Graphen. Wo wechselt der letzte Chip sein Vorzeichen, und wie hoch kommt P höchstens?

Nullstellen, Vorzeichen, y-Achse

Die Nullstellen liest man dort ab, wo der Graph die x-Achse schneidet: bei und . Zwischen ihnen liegt die Parabel über der Achse, dort gilt , also für . Links von −1 und rechts von 5 ist . Den Schnittpunkt mit der y-Achse liefert : , also (0 | 5). In der Form ist dieser y-Achsenabschnitt immer c. Vorsicht: Der Schnittpunkt ist (0 | c) und nicht (c | 0). Nullstellen sind x-Werte, der y-Achsenabschnitt ist ein y-Wert. Das Vorzeichen von f wechselt nur an den Nullstellen. Bei einer nach oben geöffneten Parabel ist es umgekehrt: Zwischen den Nullstellen liegt sie unter der Achse, dort ist .

Bewege P nach links und rechts. Wann wechselt das Lot die Farbe?
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Wertemenge hat f(x) = −(x − 1)² + 4?

  • ● W = {y | y ≤ 4}
  • ○ W = {y | y ≥ 4}
  • ○ W = {y | y ≤ 1}
Wegen a = −1 öffnet die Parabel nach unten, der Scheitel S(1 | 4) ist der höchste Punkt: alle Werte sind höchstens 4. Bei y ≥ 4 wäre die Parabel nach oben geöffnet, die 1 ist die x-Koordinate des Scheitels und gehört nicht zur Wertemenge.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Wie groß ist der größte Funktionswert der dargestellten Funktion?

  • ● 6
  • ○ −1
  • ○ 5
Der höchste Punkt der Parabel liegt bei S(−1 | 6). Der größte Funktionswert ist die y-Koordinate 6, nicht die x-Koordinate −1. Die 5 ist der Wert bei x = 0, also der y-Achsenabschnitt.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

In welchem Bereich fällt der Graph von f(x) = (x − 2)² + 1?

  • ● für x < 2
  • ○ für x > 2
  • ○ für x < 1
Die Parabel öffnet nach oben, links vom Scheitel S(2 | 1) fällt der Graph, rechts steigt er. Der Wechsel geschieht bei der x-Koordinate 2 des Scheitels, nicht bei 1.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

In welchem Bereich steigt der dargestellte Graph?

  • ● für x < 3
  • ○ für x > 3
  • ○ für x < 0
Die Parabel öffnet nach unten. Links vom höchsten Punkt (x = 3) steigt sie, rechts davon fällt sie. Bei x < 0 wäre nur ein Teil des steigenden Astes beschrieben.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Eine nach oben geöffnete Parabel hat die Nullstellen −2 und 4. Wo gilt f(x) < 0?

  • ● für −2 < x < 4
  • ○ für x < −2 oder x > 4
  • ○ für x < 4
Eine nach oben geöffnete Parabel liegt zwischen ihren Nullstellen unter der x-Achse, dort ist f(x) < 0. Außerhalb liegt sie darüber. „x < 4“ würde auch den Bereich links von −2 einschließen.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Für welche x gilt bei der dargestellten Funktion f(x) > 0?

  • ● für −1 < x < 3
  • ○ für x < −1 oder x > 3
  • ○ für x > 1
Die Parabel öffnet nach unten und liegt zwischen den Nullstellen −1 und 3 über der x-Achse: f(x) > 0. Außerhalb liegt sie darunter. „x > 1“ verwechselt die Nullstellen mit der Lage des Scheitels bei x = 1.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

In welchem Punkt schneidet der Graph von f(x) = 2x² − 3x − 7 die y-Achse?

  • ● (0 | −7)
  • ○ (−7 | 0)
  • ○ (0 | 2)
Auf der y-Achse ist x = 0, also f(0) = −7 = c. Der Schnittpunkt ist (0 | −7). (−7 | 0) vertauscht die Koordinaten, die 2 ist der Faktor a.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Bei welchem y-Wert schneidet der dargestellte Graph die y-Achse?

  • ● −3
  • ○ 3
  • ○ −1
Der Graph kreuzt die y-Achse unterhalb des Ursprungs bei y = −3. Die Werte 3 und −1 sind Nullstellen (x-Werte), nicht der y-Achsenabschnitt.
Mittel
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Wie groß ist der kleinste Funktionswert von f(x) = 2(x − 3)² − 5?

✓ Antwort: -5
Wegen a = 2 öffnet die Parabel nach oben, der Scheitel S(3 | −5) ist der tiefste Punkt. Der kleinste Funktionswert ist −5.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

An welcher Stelle x wechselt f(x) = (x + 4)² − 9 vom Fallen zum Steigen?

✓ Antwort: -4
Der Wechsel geschieht beim Scheitel S(−4 | −9), also bei x = −4. Das Vorzeichen in der Klammer kehrt sich um: (x + 4) wird bei x = −4 null.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Die Parabel f(x) = (x + 3)(x − 5) öffnet nach oben. Wie viele ganze Zahlen x erfüllen f(x) < 0?

✓ Antwort: 7
f(x) < 0 gilt zwischen den Nullstellen −3 und 5, für −3 < x < 5. Die ganzen Zahlen sind −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, das sind 7. Die Nullstellen selbst zählen nicht (f = 0).
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Wie lautet der y-Achsenabschnitt von f(x) = 2(x − 1)² − 5?

✓ Antwort: -3
f(0) = 2 · (0 − 1)² − 5 = 2 · 1 − 5 = −3. In der Scheitelform ist der y-Achsenabschnitt nicht sofort sichtbar, man setzt x = 0 ein.
Schwer
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Ein Ball fliegt auf der Bahn h(x) = −0,5(x − 4)² + 7 (x und h in m). Wie hoch fliegt er höchstens (in m)?

✓ Antwort: 7
Die Bahn öffnet nach unten (a = −0,5), der Scheitel S(4 | 7) ist der höchste Punkt. Die größte Höhe ist 7 m, erreicht bei x = 4 m.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Bei f(x) = −(x − 2)² + 9 gilt f(1) = 8. Für welches x > 2 ist der Funktionswert ebenfalls 8?

✓ Antwort: 3
Die Parabel ist symmetrisch zur senkrechten Geraden durch den Scheitel bei x = 2. Zu x = 1 (1 links vom Scheitel) gehört x = 3 (1 rechts): f(3) = −1 + 9 = 8.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Die Parabel f(x) = −(x + 1)(x − 4) öffnet nach unten. Wie viele ganze Zahlen x erfüllen f(x) > 0?

✓ Antwort: 4
Nach unten geöffnet ist f(x) > 0 zwischen den Nullstellen −1 und 4, für −1 < x < 4. Die ganzen Zahlen sind 0, 1, 2, 3, das sind 4.
Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Ein Ball fliegt auf der Bahn h(x) = −0,25x² + x + 1,5 (x und h in m). In welcher Höhe wird er abgeworfen (in m)?

✓ Antwort: 1.5
Abgeworfen wird er bei x = 0: h(0) = 1,5. Das ist das Absolutglied c der Form ax² + bx + c.
KI-bewertete Rechnung #5 360s ▶ Testen

Gegeben ist f(x) = x² − 2x − 8. Bestimme durch quadratische Ergänzung den Scheitel, berechne die Nullstellen und den y-Achsenabschnitt und gib Wertemenge, Monotonieverhalten und die Bereiche mit f(x) < 0 an. Skizziere den Graphen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: x² − 2x − 8 = (x − 1)² − 9, Scheitel S(1 | −9), nach oben geöffnet. Nullstellen: (x − 1)² = 9, also x = 4 und x = −2. y-Achsenabschnitt f(0) = −8. Wertemenge W = {y | y ≥ −9}. Fallend für x < 1, steigend für x > 1. f(x) < 0 für −2 < x < 4. Skizze: nach oben geöffnete Parabel durch (−2 | 0), (0 | −8), (1 | −9), (4 | 0).
f(x) = (x − 1)² − 9 mit S(1 | −9). Die Nullstellen sind −2 und 4, der y-Achsenabschnitt −8. Zwischen den Nullstellen ist f(x) < 0; die Wertemenge ist W = {y | y ≥ −9}.