Lösungsformel und Diskriminante
Die Gleichung x² = 3x − 2 wird auf die Form ax² + bx + c = 0 gebracht. Welche Werte haben a, b und c?
Erklärung: Alles auf die linke Seite: x² − 3x + 2 = 0, also a = 1, b = −3, c = 2. Die anderen Optionen entstehen, wenn man beim Umstellen die Vorzeichen nicht mitnimmt oder die Gleichung gar nicht umstellt.
Die Gleichung 3x² = 12x wird auf die Form ax² + bx + c = 0 gebracht. Welche Werte haben a, b und c?
Erklärung: 3x² − 12x = 0: a = 3, b = −12, und ein Absolutglied fehlt, also c = 0. Die −12 steht bei x, nicht als Zahl allein.
Die Gleichung 4x² − x = 9 wird auf die Form ax² + bx + c = 0 gebracht. Wie groß ist c?
Erklärung: Die 9 wird nach links gebracht: 4x² − x − 9 = 0. Damit ist c = −9.
Die Gleichung x² = 3x + 10 soll mit der Lösungsformel gelöst werden. Berechne D = b² − 4ac.
Erklärung: Normalform: x² − 3x − 10 = 0, also a = 1, b = −3, c = −10. D = (−3)² − 4 · 1 · (−10) = 9 + 40 = 49.
Welche Rechnung liefert die Lösungen von x² − 6x + 5 = 0?
Erklärung: Mit a = 1, b = −6, c = 5 ist −b = 6 und D = 36 − 20 = 16, also x = (6 ± √16) : 2 = (6 ± 4) : 2. Bei −6 wurde das Vorzeichen von b nicht umgedreht, bei √56 wurde 4ac addiert statt subtrahiert.
Welche Rechnung liefert die Lösungen von 2x² + 5x − 3 = 0?
Erklärung: a = 2, b = 5, c = −3: D = 25 − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24 = 49, der Nenner ist 2a = 4. Bei : 2 wurde a statt 2a geteilt, bei √1 wurde das Vorzeichen von c vergessen (25 − 24).
Löse x² + 2x − 15 = 0. Wie lautet die kleinere Lösung?
Erklärung: a = 1, b = 2, c = −15: D = 4 + 60 = 64, x = (−2 ± 8) : 2, also x = 3 oder x = −5. Die kleinere Lösung ist −5.
Ein Ball fliegt auf der Bahn h(x) = −0,5x² + 2x + 2,5 (x und h in m). An welcher Stelle x > 0 trifft er den Boden (h = 0)?
Erklärung: −0,5x² + 2x + 2,5 = 0 mit −2 multipliziert: x² − 4x − 5 = 0. D = 16 + 20 = 36, x = (4 ± 6) : 2, also x = 5 oder x = −1. Nur x = 5 ist sinnvoll.
Wie viele Lösungen hat x² − 6x + 9 = 0?
Erklärung: D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0: genau eine Lösung, x = 3. Der Scheitel liegt auf der x-Achse. „Keine Lösung“ wäre der Fall D < 0.
Für welchen Wert von c hat x² + 6x + c = 0 keine Lösung?
Erklärung: D = 36 − 4c. Bei c = 12 ist D = −12 < 0, keine Lösung. Bei c = 9 ist D = 0 (eine Lösung), bei c = 5 ist D = 16 > 0 (zwei Lösungen).
Der Graph gehört zu f(x) = x² − 4x + c. Welcher Wert von c passt?
Erklärung: Die Parabel berührt die x-Achse nur, also D = 16 − 4c = 0 und c = 4. Bei c = 3 wäre D = 4 > 0 (Schnitt in zwei Punkten), bei c = 5 wäre D = −4 < 0 (die Parabel bliebe über der Achse).
Berechne die Diskriminante D = b² − 4ac der Gleichung 3x² − 2x − 5 = 0.
Erklärung: a = 3, b = −2, c = −5: D = (−2)² − 4 · 3 · (−5) = 4 + 60 = 64. Wegen c < 0 wird 4ac zu einer negativen Zahl, und das Minus davor macht sie positiv.
Für welchen Wert von c hat x² − 8x + c = 0 genau eine Lösung?
Erklärung: Genau eine Lösung heißt D = 0: (−8)² − 4 · 1 · c = 64 − 4c = 0, also c = 16. Dann ist x² − 8x + 16 = (x − 4)² = 0.
Löse die Gleichung 3x² = 2 − 5x. Bringe sie auf Normalform, lies a, b und
c ab, berechne die Diskriminante und sage, wie viele Lösungen es gibt.
Berechne die Lösungen und mache die Probe für eine Lösung.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Normalform 3x² + 5x − 2 = 0 mit a = 3, b = 5, c = −2. D = 49, die Lösungen sind x = (−5 ± 7) : 6, also 1/3 und −2. Probe: 3 · (−2)² + 5 · (−2) − 2 = 0.
Bring die Gleichung auf die Form ax² + bx + c = 0. Wie groß ist b?
x² = 5x − 6
Beim Hinüberbringen dreht sich das Vorzeichen um.
Alles auf eine Seite: x² − 5x + 6 = 0. Also a = 1, b = −5, c = 6.
Bring die Gleichung auf die Form ax² + bx + c = 0. Wie groß ist b?
x² + 4 = 7x
Beim Hinüberbringen dreht sich das Vorzeichen um.
Alles auf eine Seite: x² − 7x + 4 = 0. Also a = 1, b = −7, c = 4.
Berechne die Diskriminante D = b² − 4ac.
x² − 2x − 8 = 0
Schau auf das Vorzeichen von c: Minus mal Minus gibt Plus.
a = 1, b = −2, c = −8. D = (−2)² − 4 · 1 · (−8) = 4 + 32 = 36.
Berechne die Diskriminante D = b² − 4ac.
x² + 4x − 12 = 0
Schau auf das Vorzeichen von c: Minus mal Minus gibt Plus.
a = 1, b = 4, c = −12. D = 4² − 4 · 1 · (−12) = 16 + 48 = 64.
Berechne die Diskriminante D = b² − 4ac.
2x² + 3x − 2 = 0
Schau auf das Vorzeichen von c: Minus mal Minus gibt Plus.
a = 2, b = 3, c = −2. D = 3² − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25.
Berechne die Diskriminante D = b² − 4ac.
3x² + x − 2 = 0
Schau auf das Vorzeichen von c: Minus mal Minus gibt Plus.
a = 3, b = 1, c = −2. D = 1² − 4 · 3 · (−2) = 1 + 24 = 25.
Wie viele Lösungen hat die Gleichung?
x² + 4x + 5 = 0
D = 4² − 4 · 1 · 5 = −4. D < 0: keine Lösung.
Wie viele Lösungen hat die Gleichung?
x² − 2x + 3 = 0
D = (−2)² − 4 · 1 · 3 = −8. D < 0: keine Lösung.
Löse die Gleichung. Trag die größere Lösung ein.
x² − 2x − 8 = 0
Das ist die kleinere Lösung.
Vorne in der Formel steht −b. Ist b negativ, wird −b positiv.
D = 36, √D = 6. x = (2 ± 6) : 2, also x = 4 oder x = −2.
Löse die Gleichung. Trag die größere Lösung ein.
x² − 4x − 12 = 0
Das ist die kleinere Lösung.
Vorne in der Formel steht −b. Ist b negativ, wird −b positiv.
D = 64, √D = 8. x = (4 ± 8) : 2, also x = 6 oder x = −2.
Löse die Gleichung. Trag die kleinere Lösung ein.
x² + x − 6 = 0
Das ist die größere Lösung.
Vorne in der Formel steht −b. Ist b negativ, wird −b positiv.
D = 25, √D = 5. x = (−1 ± 5) : 2, also x = 2 oder x = −3.
Löse die Gleichung. Trag die kleinere Lösung ein.
x² + 2x − 8 = 0
Das ist die größere Lösung.
Vorne in der Formel steht −b. Ist b negativ, wird −b positiv.
D = 36, √D = 6. x = (−2 ± 6) : 2, also x = 2 oder x = −4.
Löse die Gleichung. Trag die größere Lösung ein.
2x² − 5x − 3 = 0
Vorne in der Formel steht −b. Ist b negativ, wird −b positiv.
D = 49, √D = 7. x = (5 ± 7) : 4, also x = 3 oder x = −0,5.
Löse die Gleichung. Trag die größere Lösung ein.
2x² − 7x + 3 = 0
Vorne in der Formel steht −b. Ist b negativ, wird −b positiv.
D = 25, √D = 5. x = (7 ± 5) : 4, also x = 3 oder x = 0,5.
Lea löst x² − 6x + 8 = 0 so:
x = (−6 ± √4) : 2
Stimmt ihr Ansatz?
Nein: b = −6, also −b = 6. Richtig ist x = (6 ± 2) : 2, also x = 4 oder x = 2.
Tim löst x² − 8x + 15 = 0 so:
x = (−8 ± √4) : 2
Stimmt sein Ansatz?
Nein: b = −8, also −b = 8. Richtig ist x = (8 ± 2) : 2, also x = 5 oder x = 3.
Löse die Gleichung. Trag die kleinere Lösung ein.
x² = 2x + 15
Vorne in der Formel steht −b. Ist b negativ, wird −b positiv.
Das ist die größere Lösung.
Erst auf Normalform: x² − 2x − 15 = 0. D = 64, √D = 8. x = (2 ± 8) : 2, also x = 5 oder x = −3.
Löse die Gleichung. Trag die kleinere Lösung ein.
x² = x + 20
Vorne in der Formel steht −b. Ist b negativ, wird −b positiv.
Das ist die größere Lösung.
Erst auf Normalform: x² − x − 20 = 0. D = 81, √D = 9. x = (1 ± 9) : 2, also x = 5 oder x = −4.
Hat die Gleichung genau eine Lösung?
x² + 10x + 25 = 0
Ja: D = 100 − 100 = 0. Die einzige Lösung ist x = −5.
Hat die Gleichung genau eine Lösung?
x² − 12x + 36 = 0
Ja: D = 144 − 144 = 0. Die einzige Lösung ist x = 6.
Ein Beet ist 3 m länger als breit und hat 40 m² Fläche. Wie breit ist es (in m)?
Eine Breite ist nicht negativ.
x · (x + 3) = 40, also x² + 3x − 40 = 0. D = 169, x = (−3 ± 13) : 2. Nur x = 5 ist eine Breite.
Ein Beet ist 2 m länger als breit und hat 48 m² Fläche. Wie breit ist es (in m)?
Eine Breite ist nicht negativ.
x · (x + 2) = 48, also x² + 2x − 48 = 0. D = 196, x = (−2 ± 14) : 2. Nur x = 6 ist eine Breite.
Bring 2x² − 8x + 6 = 0 auf die Form x² + px + q = 0. Wie groß ist p?
Erst durch 2 teilen: −8 : 2 = −4.
Durch 2 teilen: x² − 4x + 3 = 0. Also p = −4.
Bring 5x² − 10x + 5 = 0 auf die Form x² + px + q = 0. Wie groß ist p?
Erst durch 5 teilen: −10 : 5 = −2.
Durch 5 teilen: x² − 2x + 1 = 0. Also p = −2.
Bring 3x² + 12x − 15 = 0 auf die Form x² + px + q = 0. Wie groß ist q?
Erst durch 3 teilen: −15 : 3 = −5.
Durch 3 teilen: x² + 4x − 5 = 0. Also q = −5.
Bring 4x² − 8x − 12 = 0 auf die Form x² + px + q = 0. Wie groß ist q?
Erst durch 4 teilen: −12 : 4 = −3.
Durch 4 teilen: x² − 2x − 3 = 0. Also q = −3.
x² − 6x + 5 = 0. Wie groß ist (p/2)² − q?
p = −6, q = 5: (p/2)² − q = 9 − 5 = 4.
x² − 8x + 7 = 0. Wie groß ist (p/2)² − q?
p = −8, q = 7: (p/2)² − q = 16 − 7 = 9.
x² + 4x − 12 = 0. Wie groß ist (p/2)² − q?
Schau auf das Vorzeichen von q: minus eine negative Zahl wird plus.
p = 4, q = −12: (p/2)² − q = 4 − (−12) = 16.
x² + 6x − 7 = 0. Wie groß ist (p/2)² − q?
Schau auf das Vorzeichen von q: minus eine negative Zahl wird plus.
p = 6, q = −7: (p/2)² − q = 9 − (−7) = 16.
Löse mit der pq-Formel: x² − 6x + 5 = 0. Wie heißt die größere Lösung?
Vorne steht −p/2: das Vorzeichen von p umdrehen.
p = −6, q = 5. (p/2)² − q = 9 − 5 = 4. x = 3 ± 2, also 1 oder 5.
Löse mit der pq-Formel: x² − 8x + 7 = 0. Wie heißt die größere Lösung?
Vorne steht −p/2: das Vorzeichen von p umdrehen.
p = −8, q = 7. (p/2)² − q = 16 − 7 = 9. x = 4 ± 3, also 1 oder 7.
Löse mit der pq-Formel: x² + 4x − 12 = 0. Wie heißt die kleinere Lösung?
Vorne steht −p/2: das Vorzeichen von p umdrehen.
p = 4, q = −12. (p/2)² − q = 4 − (−12) = 16. x = −2 ± 4, also −6 oder 2.
Löse mit der pq-Formel: x² + 6x − 7 = 0. Wie heißt die kleinere Lösung?
Vorne steht −p/2: das Vorzeichen von p umdrehen.
p = 6, q = −7. (p/2)² − q = 9 − (−7) = 16. x = −3 ± 4, also −7 oder 1.
x² − 8x + 16 = 0. Wie viele Lösungen hat die Gleichung?
(p/2)² − q = 16 − 16 = 0. Null: genau eine Lösung.
x² + 10x + 25 = 0. Wie viele Lösungen hat die Gleichung?
(p/2)² − q = 25 − 25 = 0. Null: genau eine Lösung.
x² + 2x + 5 = 0. Wie viele Lösungen hat die Gleichung?
(p/2)² − q = 1 − 5 = −4. Negativ: keine Lösung.
x² − 4x + 6 = 0. Wie viele Lösungen hat die Gleichung?
(p/2)² − q = 4 − 6 = −2. Negativ: keine Lösung.
Löse mit der pq-Formel: 2x² + 4x − 6 = 0. Wie heißt die größere Lösung?
Vorne steht −p/2: das Vorzeichen von p umdrehen.
Durch 2 geteilt: x² + 2x − 3 = 0. p = 2, q = −3. (p/2)² − q = 1 − (−3) = 4. x = −1 ± 2, also −3 oder 1.
Löse mit der pq-Formel: 3x² − 6x − 24 = 0. Wie heißt die größere Lösung?
Vorne steht −p/2: das Vorzeichen von p umdrehen.
Durch 3 geteilt: x² − 2x − 8 = 0. p = −2, q = −8. (p/2)² − q = 1 − (−8) = 9. x = 1 ± 3, also −2 oder 4.
Leo löst x² + 10x + 21 = 0 so: x = 5 ± √(25 − 21). Stimmt das?
Nein: Vorne steht −p/2 = −5. Richtig: x = −5 ± 2, also −3 oder −7.
Leo löst x² + 8x + 12 = 0 so: x = 4 ± √(16 − 12). Stimmt das?
Nein: Vorne steht −p/2 = −4. Richtig: x = −4 ± 2, also −2 oder −6.
Löse mit der pq-Formel: x² − x − 6 = 0. Wie heißt die größere Lösung?
Vorne steht −p/2: das Vorzeichen von p umdrehen.
p = −1, q = −6. (p/2)² − q = 0,25 − (−6) = 6,25. x = 0,5 ± 2,5, also −2 oder 3.
Löse mit der pq-Formel: x² + x − 12 = 0. Wie heißt die größere Lösung?
Vorne steht −p/2: das Vorzeichen von p umdrehen.
p = 1, q = −12. (p/2)² − q = 0,25 − (−12) = 12,25. x = −0,5 ± 3,5, also −4 oder 3.
Ein Rechteck ist 3 cm länger als breit und hat 40 cm² Fläche. Für die Breite x gilt x² + 3x − 40 = 0. Wie viel cm ist das Rechteck breit?
Vorne steht −p/2: das Vorzeichen von p umdrehen.
p = 3, q = −40. (p/2)² − q = 2,25 − (−40) = 42,25. x = −1,5 ± 6,5, also −8 oder 5.
Ein Rechteck ist 2 cm länger als breit und hat 48 cm² Fläche. Für die Breite x gilt x² + 2x − 48 = 0. Wie viel cm ist das Rechteck breit?
Vorne steht −p/2: das Vorzeichen von p umdrehen.
p = 2, q = −48. (p/2)² − q = 1 − (−48) = 49. x = −1 ± 7, also −8 oder 6.