Lösungsformel und Diskriminante
Quadratic formula and discriminant
Die Lösungsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) löst jede quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0; sie folgt aus der quadratischen Ergänzung. Die Diskriminante D = b² − 4ac sagt vor der Rechnung, ob es zwei, eine oder keine Lösung gibt, und die Skizze zeigt es als Schneiden, Berühren oder Verfehlen der x-Achse. Der Abschnitt räumt die typischen Fehler aus: die Gleichung nicht auf Normalform bringen, das Vorzeichen von b und c verlieren, die 2a nur unter die Wurzel schreiben. Er bereitet die Schnittpunkte von Gerade und Parabel in M9 2.2 vor.
Die Lösungsformel
Für alle übrigen Fälle gibt es die Lösungsformel. Zuerst
bringt man die Gleichung auf die Form
Sie entsteht, wenn man
Die Diskriminante
Der Term unter der Wurzel,
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (1)
Die Gleichung x² = 3x − 2 wird auf die Form ax² + bx + c = 0 gebracht. Welche Werte haben a, b und c?
Die Gleichung 3x² = 12x wird auf die Form ax² + bx + c = 0 gebracht. Welche Werte haben a, b und c?
Welche Rechnung liefert die Lösungen von x² − 6x + 5 = 0?
Welche Rechnung liefert die Lösungen von 2x² + 5x − 3 = 0?
Wie viele Lösungen hat x² − 6x + 9 = 0?
Für welchen Wert von c hat x² + 6x + c = 0 keine Lösung?
Der Graph gehört zu f(x) = x² − 4x + c. Welcher Wert von c passt?
Lea löst x² − 6x + 8 = 0 so: x = (−6 ± √4) : 2 Stimmt ihr Ansatz?
Tim löst x² − 8x + 15 = 0 so: x = (−8 ± √4) : 2 Stimmt sein Ansatz?
Leo löst x² + 10x + 21 = 0 so: x = 5 ± √(25 − 21). Stimmt das?
Die Gleichung 4x² − x = 9 wird auf die Form ax² + bx + c = 0 gebracht. Wie groß ist c?
Löse x² + 2x − 15 = 0. Wie lautet die kleinere Lösung?
Berechne die Diskriminante D = b² − 4ac der Gleichung 3x² − 2x − 5 = 0.
Bring die Gleichung auf die Form ax² + bx + c = 0. Wie groß ist b? x² = 5x − 6
Bring die Gleichung auf die Form ax² + bx + c = 0. Wie groß ist b? x² + 4 = 7x
Berechne die Diskriminante D = b² − 4ac. x² − 2x − 8 = 0
Berechne die Diskriminante D = b² − 4ac. x² + 4x − 12 = 0
Berechne die Diskriminante D = b² − 4ac. 2x² + 3x − 2 = 0
Berechne die Diskriminante D = b² − 4ac. 3x² + x − 2 = 0
Löse die Gleichung. Trag die größere Lösung ein. x² − 2x − 8 = 0
Löse die Gleichung. Trag die größere Lösung ein. x² − 4x − 12 = 0
Löse die Gleichung. Trag die kleinere Lösung ein. x² + x − 6 = 0
Löse die Gleichung. Trag die kleinere Lösung ein. x² + 2x − 8 = 0
Löse die Gleichung. Trag die größere Lösung ein. 2x² − 5x − 3 = 0
Löse die Gleichung. Trag die größere Lösung ein. 2x² − 7x + 3 = 0
Löse die Gleichung. Trag die kleinere Lösung ein. x² = 2x + 15
Löse die Gleichung. Trag die kleinere Lösung ein. x² = x + 20
Ein Beet ist 3 m länger als breit und hat 40 m² Fläche. Wie breit ist es (in m)?
Ein Beet ist 2 m länger als breit und hat 48 m² Fläche. Wie breit ist es (in m)?
Bring 2x² − 8x + 6 = 0 auf die Form x² + px + q = 0. Wie groß ist p?
Bring 5x² − 10x + 5 = 0 auf die Form x² + px + q = 0. Wie groß ist p?
Bring 3x² + 12x − 15 = 0 auf die Form x² + px + q = 0. Wie groß ist q?
Bring 4x² − 8x − 12 = 0 auf die Form x² + px + q = 0. Wie groß ist q?
Löse mit der pq-Formel: x² − 6x + 5 = 0. Wie heißt die größere Lösung?
Löse mit der pq-Formel: x² − 8x + 7 = 0. Wie heißt die größere Lösung?
Löse mit der pq-Formel: x² + 4x − 12 = 0. Wie heißt die kleinere Lösung?
Löse mit der pq-Formel: x² + 6x − 7 = 0. Wie heißt die kleinere Lösung?
x² + 10x + 25 = 0. Wie viele Lösungen hat die Gleichung?
Löse mit der pq-Formel: 2x² + 4x − 6 = 0. Wie heißt die größere Lösung?
Löse mit der pq-Formel: 3x² − 6x − 24 = 0. Wie heißt die größere Lösung?
Löse mit der pq-Formel: x² − x − 6 = 0. Wie heißt die größere Lösung?
Löse mit der pq-Formel: x² + x − 12 = 0. Wie heißt die größere Lösung?
Ein Rechteck ist 3 cm länger als breit und hat 40 cm² Fläche. Für die Breite x gilt x² + 3x − 40 = 0. Wie viel cm ist das Rechteck breit?
Ein Rechteck ist 2 cm länger als breit und hat 48 cm² Fläche. Für die Breite x gilt x² + 2x − 48 = 0. Wie viel cm ist das Rechteck breit?
Die Gleichung x² = 3x + 10 soll mit der Lösungsformel gelöst werden. Berechne D = b² − 4ac.
Ein Ball fliegt auf der Bahn h(x) = −0,5x² + 2x + 2,5 (x und h in m). An welcher Stelle x > 0 trifft er den Boden (h = 0)?
Für welchen Wert von c hat x² − 8x + c = 0 genau eine Lösung?
Löse die Gleichung 3x² = 2 − 5x. Bringe sie auf Normalform, lies a, b und c ab, berechne die Diskriminante und sage, wie viele Lösungen es gibt. Berechne die Lösungen und mache die Probe für eine Lösung. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.