Welche Methode wann?
Welche Werte lösen x² = 49?
Erklärung: Beide Zahlen haben das Quadrat 49: 7² = 49 und (−7)² = 49. Wer nur die positive Wurzel nimmt, verliert eine Lösung; 24,5 entsteht, wenn man 49 durch 2 teilt statt die Wurzel zu ziehen.
Die Gerade y = 9 schneidet die Parabel y = (x − 2)². Welche Zahlen lösen (x − 2)² = 9?
Erklärung: x − 2 = 3 oder x − 2 = −3 ergibt x = 5 oder x = −1, das sind die beiden Schnittstellen im Bild. x = 3 oder −3 löst x² = 9, nicht (x − 2)² = 9; wer nur x − 2 = 3 rechnet, findet nur x = 5.
Löse x² = 64. Wie lautet die kleinere Lösung?
Erklärung: x = 8 oder x = −8. Die kleinere Lösung ist −8.
Löse (x + 2)² = 25. Wie lautet die größere Lösung?
Erklärung: x + 2 = 5 oder x + 2 = −5, also x = 3 oder x = −7. Die größere Lösung ist 3.
Welche Werte lösen x² − 5x = 0?
Erklärung: x(x − 5) = 0 gilt für x = 0 oder x − 5 = 0, also x = 5. Wer durch x teilt, erhält nur x = 5 und verliert x = 0; das Vorzeichen der zweiten Lösung ist +5, nicht −5.
Aus x² = 4x folgt durch Teilen durch x die Lösung x = 4. Damit sind alle Lösungen gefunden.
Erklärung: Beim Teilen durch x geht die Lösung x = 0 verloren, denn 0² = 4 · 0. Richtig: x² − 4x = 0, x(x − 4) = 0, also x = 0 oder x = 4.
Löse x² + 12x = 0. Wie lautet die kleinere Lösung?
Erklärung: x(x + 12) = 0, also x = 0 oder x + 12 = 0, das heißt x = −12. Die kleinere Lösung ist −12.
Löse 3x² − 15x = 0. Wie lautet die größere Lösung?
Erklärung: 3x(x − 5) = 0, also x = 0 oder x = 5. Der Faktor 3 verändert die Lösungen nicht. Die größere Lösung ist 5.
Welche Werte lösen (x − 3)(x + 5) = 0?
Erklärung: Ein Faktor muss null sein: x − 3 = 0 gibt x = 3, x + 5 = 0 gibt x = −5. Die Vorzeichen in den Klammern kehren sich bei den Lösungen um.
Der Graph gehört zu f(x) = (x + 2)(x − 4). Welche Zahlen lösen f(x) = 0?
Erklärung: Die Faktoren x + 2 und x − 4 sind null für x = −2 und x = 4. Im Bild liegt der linke Schnittpunkt näher am Ursprung, das passt zu −2 und 4, nicht zu 2 und −4.
Löse (2x − 6)(x + 1) = 0. Wie lautet die größere Lösung?
Erklärung: 2x − 6 = 0 gibt x = 3, x + 1 = 0 gibt x = −1. Die größere Lösung ist 3.
Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat die Nullstellen 2 und 9. Wie groß ist f(0)?
Erklärung: Die Funktion lautet f(x) = (x − 2)(x − 9). Für x = 0: f(0) = (−2) · (−9) = 18.
Welche Gleichung lässt sich durch Ausklammern lösen?
Erklärung: Nur bei x² − 5x = 0 fehlt das Absolutglied, x lässt sich ausklammern: x(x − 5) = 0. Bei x² − 5 = 0 fehlt der x-Term (Wurzelziehen), bei x² − 5x + 6 = 0 fehlt nichts (Lösungsformel).
Welche Gleichung lässt sich am schnellsten durch Wurzelziehen lösen?
Erklärung: Bei (x + 1)² = 16 steht links ein reines Quadrat: x + 1 = 4 oder x + 1 = −4. x² + x = 16 hat einen x-Term neben x², x² − 16x = 0 löst man durch Ausklammern.
Die Gleichung x² + 4x + 7 = 0 lässt sich durch Ausklammern von x lösen.
Erklärung: Wegen des Summanden 7 lässt sich x nicht aus allen Gliedern ausklammern. Hier braucht man die Lösungsformel oder die quadratische Ergänzung.
Zur Gleichung x² − 9x = 0 passt die Methode: ___ (ein Wort)
Erklärung: Es fehlt das Absolutglied, also klammert man x aus: x(x − 9) = 0 mit den Lösungen 0 und 9.
Die Parabel zu f(x) = 2x² − 18 schneidet die x-Achse in zwei Punkten. Wie weit liegen diese Punkte auseinander?
Erklärung: 2x² − 18 = 0 gibt x² = 9, also x = 3 oder x = −3 (beide Wurzeln). Der Abstand von −3 bis 3 ist 6.
Löse die beiden Gleichungen 3x² − 12x = 0 und 2(x + 1)² = 50. Nenne
jeweils die passende Methode, begründe deine Wahl und mache die Probe für
eine Lösung jeder Gleichung.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Erste Gleichung: ausklammern, 3x(x − 4) = 0, x = 0 oder x = 4. Zweite Gleichung: durch 2 teilen, (x + 1)² = 25, Wurzel ziehen, x = 4 oder x = −6. Beide Male beide Lösungen angeben.
Löse die Gleichung. Trag die positive Lösung ein.
x² = 49
Gefragt ist die positive Lösung.
x² = 49 hat die Lösungen 7 und −7.
Trag die positive Lösung ein.
(x − 3)(x + 2) = 0
x + 2 = 0 heißt x = −2. Die positive Lösung kommt aus x − 3 = 0.
Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x = 3 oder x = −2.
x² = 49. Wie heißt die positive Lösung?
7 · 7 = 49. Die andere Lösung ist −7.
(x − 3)(x + 2) = 0. Wie heißt die größere Lösung?
Ein Faktor muss 0 sein: x = 3 oder x = −2.