Welche Methode wann?

Which method when?

Mathematik Klasse 9 22 Aufgaben
AlgebraGleichungenQuadratischFaktorisieren

Quadratische Gleichungen lassen sich oft ohne Lösungsformel lösen: durch Wurzelziehen, wenn nur ein Quadrat ohne x-Term dasteht, durch Ausklammern, wenn das Absolutglied fehlt, und über den Satz vom Nullprodukt bei einer Produktform mit rechts null. Der Abschnitt macht die Wahl der Methode zur Aufgabe und räumt die dokumentierten Fehler aus: nur die positive Wurzel nehmen, durch x teilen und x = 0 verlieren, den Nullproduktsatz auf eine Zahl ungleich null anwenden (Malle 1993). Die Skizze prüft jedes Ergebnis. Er bereitet die Lösungsformel als Fallback und die Bruchgleichungen in M9 2.2 vor.

Wurzelziehen und Ausklammern

Nicht jede quadratische Gleichung braucht die Lösungsformel. Steht links nur ein Quadrat und kein x-Term daneben, wie in oder , zieht man die Wurzel und vergisst die zweite Lösung nicht: oder . Bei gibt es keine Lösung. Fehlt das Absolutglied (die Zahl ohne x), wie in , klammert man x aus: . Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist, also oder . Wer stattdessen durch x teilt, verliert die Lösung . Die Probe dauert nur einen Schritt: Setzt man 5 und −5 in x² = 25 ein, stimmen beide.

Stelle c auf 25 ein und dann auf negative Werte. Wo schneidet die Gerade die Parabel?

Produktform und Methodenwahl

Steht die Gleichung schon als Produkt da, liest man die Lösungen sofort ab: hat die Lösungen 3 und −5. Das gilt aber nur, wenn rechts null steht. Aus folgt nicht ; dann multipliziert man aus und bringt alles auf eine Seite. Die Wahl in Kürze: nur ein Quadrat, Wurzel ziehen; kein Absolutglied, ausklammern; Produkt gleich null, Faktoren einzeln null setzen; sonst die Lösungsformel. Eine Skizze prüft das Ergebnis, denn die Lösungen sind die Nullstellen des Graphen. Ein Beispiel für die Wahl: 5x² − 20x = 0 klammert man aus, 3(x − 2)² = 12 löst man durch Wurzelziehen, und x² + 2x − 15 = 0 im Zweifel mit der Lösungsformel.

Verschiebe p und q. Wo liegen die Lösungen von (x − p)(x − q) = 0?
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Werte lösen x² = 49?

  • ● x = 7 oder x = −7
  • ○ x = 7
  • ○ x = 24,5
Beide Zahlen haben das Quadrat 49: 7² = 49 und (−7)² = 49. Wer nur die positive Wurzel nimmt, verliert eine Lösung; 24,5 entsteht, wenn man 49 durch 2 teilt statt die Wurzel zu ziehen.
Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Die Gerade y = 9 schneidet die Parabel y = (x − 2)². Welche Zahlen lösen (x − 2)² = 9?

  • ● x = 5 oder x = −1
  • ○ x = 3 oder x = −3
  • ○ x = 5
x − 2 = 3 oder x − 2 = −3 ergibt x = 5 oder x = −1, das sind die beiden Schnittstellen im Bild. x = 3 oder −3 löst x² = 9, nicht (x − 2)² = 9; wer nur x − 2 = 3 rechnet, findet nur x = 5.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Welche Werte lösen x² − 5x = 0?

  • ● x = 0 oder x = 5
  • ○ x = 5
  • ○ x = 0 oder x = −5
x(x − 5) = 0 gilt für x = 0 oder x − 5 = 0, also x = 5. Wer durch x teilt, erhält nur x = 5 und verliert x = 0; das Vorzeichen der zweiten Lösung ist +5, nicht −5.
Wahr / Falsch #4 25s ▶ Testen

Aus x² = 4x folgt durch Teilen durch x die Lösung x = 4. Damit sind alle Lösungen gefunden.

✓ Falsch
Beim Teilen durch x geht die Lösung x = 0 verloren, denn 0² = 4 · 0. Richtig: x² − 4x = 0, x(x − 4) = 0, also x = 0 oder x = 4.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welche Werte lösen (x − 3)(x + 5) = 0?

  • ● x = 3 oder x = −5
  • ○ x = −3 oder x = 5
  • ○ x = 3 oder x = 5
Ein Faktor muss null sein: x − 3 = 0 gibt x = 3, x + 5 = 0 gibt x = −5. Die Vorzeichen in den Klammern kehren sich bei den Lösungen um.
Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = (x + 2)(x − 4). Welche Zahlen lösen f(x) = 0?

  • ● x = −2 oder x = 4
  • ○ x = 2 oder x = −4
  • ○ x = −2 oder x = −4
Die Faktoren x + 2 und x − 4 sind null für x = −2 und x = 4. Im Bild liegt der linke Schnittpunkt näher am Ursprung, das passt zu −2 und 4, nicht zu 2 und −4.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Welche Gleichung lässt sich durch Ausklammern lösen?

  • ● x² − 5x = 0
  • ○ x² − 5x + 6 = 0
  • ○ x² − 5 = 0
Nur bei x² − 5x = 0 fehlt das Absolutglied, x lässt sich ausklammern: x(x − 5) = 0. Bei x² − 5 = 0 fehlt der x-Term (Wurzelziehen), bei x² − 5x + 6 = 0 fehlt nichts (Lösungsformel).
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Welche Gleichung lässt sich am schnellsten durch Wurzelziehen lösen?

  • ● (x + 1)² = 16
  • ○ x² + x = 16
  • ○ x² − 16x = 0
Bei (x + 1)² = 16 steht links ein reines Quadrat: x + 1 = 4 oder x + 1 = −4. x² + x = 16 hat einen x-Term neben x², x² − 16x = 0 löst man durch Ausklammern.
Wahr / Falsch #9 20s ▶ Testen

Die Gleichung x² + 4x + 7 = 0 lässt sich durch Ausklammern von x lösen.

✓ Falsch
Wegen des Summanden 7 lässt sich x nicht aus allen Gliedern ausklammern. Hier braucht man die Lösungsformel oder die quadratische Ergänzung.
Mittel
Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Löse x² = 64. Wie lautet die kleinere Lösung?

✓ Antwort: -8
x = 8 oder x = −8. Die kleinere Lösung ist −8.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Löse x² + 12x = 0. Wie lautet die kleinere Lösung?

✓ Antwort: -12
x(x + 12) = 0, also x = 0 oder x + 12 = 0, das heißt x = −12. Die kleinere Lösung ist −12.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Löse (2x − 6)(x + 1) = 0. Wie lautet die größere Lösung?

✓ Antwort: 3
2x − 6 = 0 gibt x = 3, x + 1 = 0 gibt x = −1. Die größere Lösung ist 3.
Lückentext #4 20s ▶ Testen

Zur Gleichung x² − 9x = 0 passt die Methode: ___ (ein Wort)

✓ Antwort: Ausklammern
Es fehlt das Absolutglied, also klammert man x aus: x(x − 9) = 0 mit den Lösungen 0 und 9.
Zahleneingabe #5 20s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag die positive Lösung ein. x² = 49

✓ Antwort: 7
Zahleneingabe #6 25s ▶ Testen

Trag die positive Lösung ein. (x − 3)(x + 2) = 0

✓ Antwort: 3
Zahleneingabe #7 20s ▶ Testen

x² = 49. Wie heißt die positive Lösung?

✓ Antwort: 7
Zahleneingabe #8 30s ▶ Testen

(x − 3)(x + 2) = 0. Wie heißt die größere Lösung?

✓ Antwort: 3
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Löse (x + 2)² = 25. Wie lautet die größere Lösung?

✓ Antwort: 3
x + 2 = 5 oder x + 2 = −5, also x = 3 oder x = −7. Die größere Lösung ist 3.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Löse 3x² − 15x = 0. Wie lautet die größere Lösung?

✓ Antwort: 5
3x(x − 5) = 0, also x = 0 oder x = 5. Der Faktor 3 verändert die Lösungen nicht. Die größere Lösung ist 5.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat die Nullstellen 2 und 9. Wie groß ist f(0)?

✓ Antwort: 18
Die Funktion lautet f(x) = (x − 2)(x − 9). Für x = 0: f(0) = (−2) · (−9) = 18.
Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

Die Parabel zu f(x) = 2x² − 18 schneidet die x-Achse in zwei Punkten. Wie weit liegen diese Punkte auseinander?

✓ Antwort: 6
2x² − 18 = 0 gibt x² = 9, also x = 3 oder x = −3 (beide Wurzeln). Der Abstand von −3 bis 3 ist 6.
KI-bewertete Rechnung #5 360s ▶ Testen

Löse die beiden Gleichungen 3x² − 12x = 0 und 2(x + 1)² = 50. Nenne jeweils die passende Methode, begründe deine Wahl und mache die Probe für eine Lösung jeder Gleichung. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 3x² − 12x = 0: Das Absolutglied fehlt, also x ausklammern: 3x(x − 4) = 0, also x = 0 oder x = 4. Probe: 3 · 4² − 12 · 4 = 48 − 48 = 0. 2(x + 1)² = 50: Es fehlt der x-Term, also Wurzel ziehen: (x + 1)² = 25, x + 1 = 5 oder x + 1 = −5, also x = 4 oder x = −6. Probe: 2 · 5² = 50.
Erste Gleichung: ausklammern, 3x(x − 4) = 0, x = 0 oder x = 4. Zweite Gleichung: durch 2 teilen, (x + 1)² = 25, Wurzel ziehen, x = 4 oder x = −6. Beide Male beide Lösungen angeben.