Die Parameter a, d und e
Welche Parabel ist nach unten geöffnet?
Erklärung: Die Öffnungsrichtung hängt nur vom Vorzeichen des Faktors a vor dem x² ab: a = −0,5 ist negativ, die Parabel öffnet nach unten. Das Minus in 0,5x² − 2 verschiebt sie nur nach unten (e = −2).
Welche Funktion gehört zum Graphen mit dem Punkt P?
Erklärung: Die Parabel öffnet nach unten, also a < 0. P(2 | −2) eingesetzt: a · 2² = −2, also a = −0,5. Bei a = −2 wäre y(2) = −8.
Berechne f(6) für f(x) = −0,5x².
Erklärung: f(6) = −0,5 · 6² = −0,5 · 36 = −18. Erst quadrieren, dann mit a multiplizieren.
Die Parabel y = a·x² geht durch den Punkt (3 | −18). Bestimme a.
Erklärung: Einsetzen: −18 = a · 3² = 9a, also a = −18 : 9 = −2. Der Faktor ist negativ, die Parabel öffnet nach unten.
Um wie viel ist die Normalparabel bei f(x) = (x + 3)² verschoben?
Erklärung: Die Klammer x + 3 wird erst bei x = −3 null, dort liegt der Scheitel: 3 nach links. „Nach rechts“ ist der Vorzeichenfehler, „nach oben“ würde x² + 3 bedeuten.
Welche Funktion gehört zum Graphen mit dem Scheitel S?
Erklärung: Der Scheitel liegt bei x = 4, dort muss die Klammer null sein: x − 4 = 0. (x + 4)² hätte den Scheitel bei −4, x² − 4 bei (0 | −4).
Bei welchem x liegt der Scheitel von f(x) = (x − 6)²?
Erklärung: Der Scheitel liegt dort, wo die Klammer null ist: x − 6 = 0, also x = 6.
Berechne f(−5) für f(x) = (x + 2)².
Erklärung: Erst die Klammer: −5 + 2 = −3, dann quadrieren: (−3)² = 9.
Welchen Scheitel hat die Parabel zu f(x) = 2(x − 1)² − 3?
Erklärung: Aus a(x + d)² + e liest man S(−d | e) ab. Hier ist die Klammer x − 1 = x + (−1), also d = −1 und x_S = 1; e = −3 ist die y-Koordinate. Der Faktor 2 verschiebt den Scheitel nicht.
Welche Funktion gehört zum Graphen mit dem Scheitel S?
Erklärung: S liegt links der y-Achse bei x = −2, also steht (x + 2) in der Klammer, und oberhalb der x-Achse bei y = 3, also + 3 außen.
Wie lautet die x-Koordinate des Scheitels von f(x) = 3(x + 2)² − 7?
Erklärung: Die Klammer x + 2 ist null für x = −2. Die −7 gehört zur y-Koordinate des Scheitels.
Der Scheitel von f(x) = −2(x − 3)² + 8 ist der höchste Punkt der Parabel. Wie groß ist der größte Funktionswert?
Erklärung: Wegen a = −2 öffnet die Parabel nach unten, der Scheitel S(3 | 8) ist der höchste Punkt. Der größte Funktionswert ist seine y-Koordinate e = 8.
Welche Parabel hat genau zwei Nullstellen?
Erklärung: Die Parabel öffnet nach oben (a = 1), der Scheitel liegt bei e = −4 unter der x-Achse, sie muss die Achse zweimal schneiden. Bei e = +4 schwebt sie darüber, bei e = 0 berührt sie die Achse nur.
Die dargestellte Parabel hat keine Nullstelle.
Erklärung: Der Scheitel liegt über der x-Achse, und die Parabel öffnet nach oben: Sie kommt der Achse nie näher als bis y = 2, es gibt keine Nullstelle.
Für welchen Wert von e hat f(x) = (x − 2)² + e genau eine Nullstelle?
Erklärung: Genau eine Nullstelle hat die Parabel, wenn der Scheitel auf der x-Achse liegt: e = 0. Dann ist x = 2 die einzige Lösung von (x − 2)² = 0.
Berechne die größere Nullstelle von f(x) = 2(x − 1)² − 18.
Erklärung: 2(x − 1)² − 18 = 0 führt auf (x − 1)² = 9, also x − 1 = 3 oder x − 1 = −3, das sind x = 4 und x = −2. Die größere ist 4.
Untersuche die Funktion f(x) = −2(x + 1)² + 8. Gib an, wohin die Parabel
geöffnet ist und wo ihr Scheitel liegt, begründe, wie viele Nullstellen
sie hat, und berechne sie. Fertige eine kleine Skizze an.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Parabel öffnet nach unten (a = −2), der Scheitel S(−1 | 8) liegt über der x-Achse, also gibt es zwei Nullstellen: (x + 1)² = 4 liefert x = 1 und x = −3.