Die Parameter a, d und e

The parameters a, d and e

Mathematik Klasse 9 17 Aufgaben
FunktionenQuadratischParabel

In f(x) = a·(x + d)² + e streckt a die Normalparabel und klappt sie bei negativem Vorzeichen nach unten, e verschiebt sie nach oben oder unten, und d verschiebt sie in der Klammer in die entgegengesetzte Richtung: Der Scheitel liegt bei S(−d | e). Ob es keine, eine oder zwei Nullstellen gibt, entscheiden die Vorzeichen von a und e. Der Abschnitt räumt die Fehlvorstellung aus, (x + 2)² schiebe nach rechts (Zazkis u. a. 2003). Er bereitet die quadratische Ergänzung und die Diskriminante vor.

Der Faktor a

Die Normalparabel gehört zu . Setzt man einen Faktor davor, , so wird sie gestreckt: Für wird sie schmaler, für breiter. Ist a negativ, öffnet sie sich nach unten, und der Scheitel ist dann der höchste statt der tiefste Punkt. Der Faktor a ändert die Form, nicht die Lage des Scheitels. Bei a = 2 ist zum Beispiel y(1) = 2 und y(2) = 8, bei a = 0,5 nur 0,5 und 2.

Ziehe a durch null. Was ändert sich an der Öffnung, was bleibt am Scheitel gleich?

Die Verschiebung d und e

Verschiebungen beschreibt die Form . Der Summand e steht außerhalb der Klammer und verschiebt die Parabel um e nach oben, bei negativem e nach unten. Das d steht in der Klammer und wirkt vor dem Quadrieren: Bei ist die Klammer erst bei null, also rutscht die Parabel um 2 nach links. Der Scheitel liegt bei .

Verändere d und e. Auf welcher Seite der y-Achse liegt der Scheitel, wenn d positiv ist?

Nullstellen: keine, eine oder zwei

Eine Nullstelle ist ein x mit . Aus folgt . Ein Quadrat ist nie negativ: Ist negativ, gibt es keine Nullstelle, die Parabel schwebt über oder unter der Achse. Bei berührt sie die x-Achse nur im Scheitel: eine Nullstelle. Ist −e/a positiv, gibt es zwei, . Beispiel: hat die Lösungen und . So verraten schon die Vorzeichen von a und e, wie viele Nullstellen es gibt, ohne zu rechnen.

Stelle a und e ein. Wann erscheinen die grünen Nullstellen?

Ermöglicht (1)

Scheitel durch Ergänzen
Klasse 9
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Parabel ist nach unten geöffnet?

  • ● f(x) = −0,5x²
  • ○ f(x) = 0,5x²
  • ○ f(x) = 0,5x² − 2
Die Öffnungsrichtung hängt nur vom Vorzeichen des Faktors a vor dem x² ab: a = −0,5 ist negativ, die Parabel öffnet nach unten. Das Minus in 0,5x² − 2 verschiebt sie nur nach unten (e = −2).
Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Welche Funktion gehört zum Graphen mit dem Punkt P?

  • ● f(x) = −0,5x²
  • ○ f(x) = 0,5x²
  • ○ f(x) = −2x²
Die Parabel öffnet nach unten, also a < 0. P(2 | −2) eingesetzt: a · 2² = −2, also a = −0,5. Bei a = −2 wäre y(2) = −8.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Um wie viel ist die Normalparabel bei f(x) = (x + 3)² verschoben?

  • ● 3 nach links
  • ○ 3 nach rechts
  • ○ 3 nach oben
Die Klammer x + 3 wird erst bei x = −3 null, dort liegt der Scheitel: 3 nach links. „Nach rechts“ ist der Vorzeichenfehler, „nach oben“ würde x² + 3 bedeuten.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Welche Funktion gehört zum Graphen mit dem Scheitel S?

  • ● f(x) = (x − 4)²
  • ○ f(x) = (x + 4)²
  • ○ f(x) = x² − 4
Der Scheitel liegt bei x = 4, dort muss die Klammer null sein: x − 4 = 0. (x + 4)² hätte den Scheitel bei −4, x² − 4 bei (0 | −4).
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Welchen Scheitel hat die Parabel zu f(x) = 2(x − 1)² − 3?

  • ● (1 | −3)
  • ○ (−1 | −3)
  • ○ (1 | 3)
Aus a(x + d)² + e liest man S(−d | e) ab. Hier ist die Klammer x − 1 = x + (−1), also d = −1 und x_S = 1; e = −3 ist die y-Koordinate. Der Faktor 2 verschiebt den Scheitel nicht.
Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Welche Funktion gehört zum Graphen mit dem Scheitel S?

  • ● f(x) = (x + 2)² + 3
  • ○ f(x) = (x − 2)² + 3
  • ○ f(x) = (x + 2)² − 3
S liegt links der y-Achse bei x = −2, also steht (x + 2) in der Klammer, und oberhalb der x-Achse bei y = 3, also + 3 außen.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Welche Parabel hat genau zwei Nullstellen?

  • ● f(x) = (x + 1)² − 4
  • ○ f(x) = (x + 1)² + 4
  • ○ f(x) = (x + 1)²
Die Parabel öffnet nach oben (a = 1), der Scheitel liegt bei e = −4 unter der x-Achse, sie muss die Achse zweimal schneiden. Bei e = +4 schwebt sie darüber, bei e = 0 berührt sie die Achse nur.
Wahr / Falsch #8 20s ▶ Testen

Die dargestellte Parabel hat keine Nullstelle.

✓ Wahr
Der Scheitel liegt über der x-Achse, und die Parabel öffnet nach oben: Sie kommt der Achse nie näher als bis y = 2, es gibt keine Nullstelle.
Mittel
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Berechne f(6) für f(x) = −0,5x².

✓ Antwort: -18
f(6) = −0,5 · 6² = −0,5 · 36 = −18. Erst quadrieren, dann mit a multiplizieren.
Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

Bei welchem x liegt der Scheitel von f(x) = (x − 6)²?

✓ Antwort: 6
Der Scheitel liegt dort, wo die Klammer null ist: x − 6 = 0, also x = 6.
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Wie lautet die x-Koordinate des Scheitels von f(x) = 3(x + 2)² − 7?

✓ Antwort: -2
Die Klammer x + 2 ist null für x = −2. Die −7 gehört zur y-Koordinate des Scheitels.
Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Für welchen Wert von e hat f(x) = (x − 2)² + e genau eine Nullstelle?

✓ Antwort: 0
Genau eine Nullstelle hat die Parabel, wenn der Scheitel auf der x-Achse liegt: e = 0. Dann ist x = 2 die einzige Lösung von (x − 2)² = 0.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Parabel y = a·x² geht durch den Punkt (3 | −18). Bestimme a.

✓ Antwort: -2
Einsetzen: −18 = a · 3² = 9a, also a = −18 : 9 = −2. Der Faktor ist negativ, die Parabel öffnet nach unten.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Berechne f(−5) für f(x) = (x + 2)².

✓ Antwort: 9
Erst die Klammer: −5 + 2 = −3, dann quadrieren: (−3)² = 9.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Der Scheitel von f(x) = −2(x − 3)² + 8 ist der höchste Punkt der Parabel. Wie groß ist der größte Funktionswert?

✓ Antwort: 8
Wegen a = −2 öffnet die Parabel nach unten, der Scheitel S(3 | 8) ist der höchste Punkt. Der größte Funktionswert ist seine y-Koordinate e = 8.
Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Berechne die größere Nullstelle von f(x) = 2(x − 1)² − 18.

✓ Antwort: 4
2(x − 1)² − 18 = 0 führt auf (x − 1)² = 9, also x − 1 = 3 oder x − 1 = −3, das sind x = 4 und x = −2. Die größere ist 4.
KI-bewertete Rechnung #5 300s ▶ Testen

Untersuche die Funktion f(x) = −2(x + 1)² + 8. Gib an, wohin die Parabel geöffnet ist und wo ihr Scheitel liegt, begründe, wie viele Nullstellen sie hat, und berechne sie. Fertige eine kleine Skizze an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: a = −2 < 0: nach unten geöffnet. Scheitel S(−1 | 8), der höchste Punkt. Da a < 0 und e = 8 > 0 verschiedene Vorzeichen haben, gibt es zwei Nullstellen. −2(x + 1)² + 8 = 0, also (x + 1)² = 4, x + 1 = 2 oder x + 1 = −2, also x = 1 und x = −3. Skizze: nach unten geöffnete Parabel mit S(−1 | 8) und den Nullstellen −3 und 1.
Die Parabel öffnet nach unten (a = −2), der Scheitel S(−1 | 8) liegt über der x-Achse, also gibt es zwei Nullstellen: (x + 1)² = 4 liefert x = 1 und x = −3.