Scheitel durch Ergänzen
Welcher Term ist gleich x² + 10x?
Erklärung: Die Hälfte von 10 ist 5, und (x + 5)² = x² + 10x + 25 hat 25 zu viel: x² + 10x = (x + 5)² − 25. Bei (x + 10)² − 100 wurde p nicht halbiert, bei − 5 wurde die Hälfte statt ihres Quadrats abgezogen.
Welcher Term ist gleich x² − 8x?
Erklärung: Zu −8x gehört die Klammer (x − 4): (x − 4)² = x² − 8x + 16. Die 16 zu viel werden abgezogen. (x + 4)² hätte +8x, und bei + 16 wäre das Ergänzte nicht abgezogen, sondern noch einmal addiert.
Es gilt x² + 12x = (x + 6)².
Erklärung: Ausmultipliziert ist (x + 6)² = x² + 12x + 36. Die 36 sind zu viel, richtig ist x² + 12x = (x + 6)² − 36.
Ergänze: x² + 14x = (x + 7)² − ___
Erklärung: Die Hälfte von 14 ist 7, und 7² = 49. Wer (x + 7)² ausmultipliziert, erhält x² + 14x + 49; die 49 zieht man wieder ab.
Ein Quadrat mit der Seite x wird durch zwei Streifen der Breite 5 zu einem größeren Quadrat der Seite x + 5 ergänzt. Wie groß ist die Fläche des fehlenden Eckstücks?
Erklärung: Das Eckstück ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 5, seine Fläche ist 5 · 5 = 25. Die beiden Streifen ergeben 10x, also p = 10 und 25 = (p/2)².
Welchen Scheitel hat die Parabel zu f(x) = x² + 8x + 7?
Erklärung: x² + 8x + 7 = (x + 4)² − 16 + 7 = (x + 4)² − 9, also S(−4 | −9). Bei (−4 | 7) wurde das Abziehen der 16 vergessen, bei (4 | −9) das Vorzeichen der Verschiebung.
Der Graph gehört zu f(x) = x² − 6x + 5. Welche Scheitelform hat die Funktion?
Erklärung: x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4. Der Scheitel S(3 | −4) liegt rechts der y-Achse unter der x-Achse, das passt zum Graphen. Bei + 5 wurde das Ergänzte nicht abgezogen.
Die Parabel zu f(x) = x² − 4x + 9 hat den Scheitel S(2 | 5).
Erklärung: x² − 4x + 9 = (x − 2)² − 4 + 9 = (x − 2)² + 5, also S(2 | 5). Wer S(2 | 9) angibt, hat das Abziehen der 4 vergessen; die 9 ist der y-Achsenabschnitt, nicht die y-Koordinate des Scheitels.
Wie lautet die y-Koordinate des Scheitels von f(x) = x² + 10x + 30?
Erklärung: x² + 10x + 30 = (x + 5)² − 25 + 30 = (x + 5)² + 5. Der Scheitel ist S(−5 | 5), die y-Koordinate also 5.
Wie groß ist der kleinste Funktionswert von f(x) = x² − 10x + 40?
Erklärung: x² − 10x + 40 = (x − 5)² − 25 + 40 = (x − 5)² + 15. Die Parabel öffnet nach oben, der tiefste Punkt ist S(5 | 15): der kleinste Wert ist 15.
Welche Scheitelform hat f(x) = 2x² + 8x + 3?
Erklärung: 2x² + 8x + 3 = 2(x² + 4x) + 3 = 2((x + 2)² − 4) + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5. Bei − 1 wurde die −4 nicht mit 2 multipliziert, bei (x + 4) wurde die 8 statt der 4 halbiert.
Welche Scheitelform hat f(x) = −x² + 6x − 5?
Erklärung: −x² + 6x − 5 = −(x² − 6x) − 5 = −((x − 3)² − 9) − 5 = −(x − 3)² + 9 − 5 = −(x − 3)² + 4. Das Minus vor der Klammer dreht die −9 zu +9.
Es gilt 3x² + 12x + 5 = 3(x + 2)² − 7.
Erklärung: 3(x + 2)² − 7 = 3(x² + 4x + 4) − 7 = 3x² + 12x + 12 − 7 = 3x² + 12x + 5. Die Scheitelform stimmt.
Wie lautet die y-Koordinate des Scheitels von f(x) = 4x² − 8x + 1?
Erklärung: 4x² − 8x + 1 = 4(x² − 2x) + 1 = 4((x − 1)² − 1) + 1 = 4(x − 1)² − 4 + 1 = 4(x − 1)² − 3. Der Scheitel ist S(1 | −3).
Wie groß ist der größte Funktionswert von f(x) = −2x² + 8x + 1?
Erklärung: −2x² + 8x + 1 = −2(x² − 4x) + 1 = −2((x − 2)² − 4) + 1 = −2(x − 2)² + 8 + 1 = −2(x − 2)² + 9. Die Parabel öffnet nach unten, der Scheitel S(2 | 9) ist der höchste Punkt.
Gegeben ist f(x) = 2x² − 12x + 13. Bestimme durch quadratische Ergänzung
die Scheitelform und den Scheitel. Berechne mithilfe der Symmetrie die
Funktionswerte für x = 1, 2, 4 und 5 und zeichne den Graphen.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: f(x) = 2(x − 3)² − 5 mit S(3 | −5). Wegen der Symmetrie gilt f(2) = f(4) = −3 und f(1) = f(5) = 3; die Parabel geht durch diese fünf Punkte.
Bring f(x) = x² − 6x + 11 durch quadratische Ergänzung auf Scheitelform. Trag die y-Koordinate des Scheitels ein.
Das Quadrat 9 wird abgezogen, nicht dazugezählt: (x − 3)² = x² − 6x + 9.
Die Hälfte von −6 ist −3, ihr Quadrat 9: f(x) = (x − 3)² − 9 + 11 = (x − 3)² + 2. Der Scheitel liegt bei y = 2.
Bring f(x) = x² + 8x + 13 durch quadratische Ergänzung auf Scheitelform. Trag die y-Koordinate des Scheitels ein.
Das Quadrat 16 wird abgezogen, nicht dazugezählt: (x + 4)² = x² + 8x + 16.
Die Hälfte von 8 ist 4, ihr Quadrat 16: f(x) = (x + 4)² − 16 + 13 = (x + 4)² − 3. Der Scheitel liegt bei y = −3.