Scheitel durch Ergänzen

Vertex by completing the square

Mathematik Klasse 9 18 Aufgaben
AlgebraQuadratischQuadratische ErgänzungBinomische Formeln

Die quadratische Ergänzung liest die erste binomische Formel rückwärts: x² + px = (x + p/2)² − (p/2)². Man halbiert p, quadriert, ergänzt und zieht wieder ab, und erhält aus ax² + bx + c die Scheitelform samt Scheitel. Der Abschnitt zeigt die Regel zuerst als Flächenmodell (das fehlende Eckstück) und räumt dann die dokumentierten Fehler aus: p nicht halbieren, das Ergänzte nicht abziehen, (x + 3)² = x² + 9 (Kirshner & Awtry 2004), den Faktor a nicht ausklammern. Er trägt die Lösungsformel und den Wechsel der Darstellungsformen.

Das fehlende Quadrat

Wie liest man den Scheitel von ab? Die Form ist nicht zu sehen. Der Trick steckt in der ersten binomischen Formel, rückwärts gelesen. Legt man ein Quadrat der Seite x und zwei Streifen der Breite 3 zusammen, fehlt zum großen Quadrat noch ein Eckstück mit . Also gilt . Das ist die quadratische Ergänzung: die Hälfte von 6 nehmen, quadrieren, ergänzen und gleich wieder abziehen. Häufige Fehler: die 6 nicht zu halbieren, also (x + 6)² zu schreiben, oder das Ergänzte nicht wieder abzuziehen. Ausmultipliziert ist , nicht und nicht .

Verändere x. Beide Chips zeigen denselben Wert, obwohl das graue Eckstück fehlt.

Vom Term zum Scheitel

Damit wird aus der Term . Aus dieser Scheitelform liest man ab. Steht vor dem x² ein Faktor, klammert man ihn zuerst aus den ersten beiden Summanden aus:

Das Minus vor der großen Klammer dreht auch die −4 um, deshalb wird daraus +4. Der Scheitel ist . Mit dem Scheitel lässt sich der Graph zeichnen: Scheitel eintragen, dann einige Punkte symmetrisch zu beiden Seiten.

Verändere p und q. Wie hängen die Koordinaten von S mit p und q zusammen?

Voraussetzungen (1)

Die Parameter a, d und e
Klasse 9
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Ermöglicht (2)

Drei Formen, drei Fragen
Klasse 9
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Lösungsformel und Diskriminante
Klasse 9
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Leicht
Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Welcher Term ist gleich x² + 10x?

  • ● (x + 5)² − 25
  • ○ (x + 10)² − 100
  • ○ (x + 5)² − 5
Die Hälfte von 10 ist 5, und (x + 5)² = x² + 10x + 25 hat 25 zu viel: x² + 10x = (x + 5)² − 25. Bei (x + 10)² − 100 wurde p nicht halbiert, bei − 5 wurde die Hälfte statt ihres Quadrats abgezogen.
Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Welcher Term ist gleich x² − 8x?

  • ● (x − 4)² − 16
  • ○ (x + 4)² − 16
  • ○ (x − 4)² + 16
Zu −8x gehört die Klammer (x − 4): (x − 4)² = x² − 8x + 16. Die 16 zu viel werden abgezogen. (x + 4)² hätte +8x, und bei + 16 wäre das Ergänzte nicht abgezogen, sondern noch einmal addiert.
Wahr / Falsch #3 20s ▶ Testen

Es gilt x² + 12x = (x + 6)².

✓ Falsch
Ausmultipliziert ist (x + 6)² = x² + 12x + 36. Die 36 sind zu viel, richtig ist x² + 12x = (x + 6)² − 36.
Multiple Choice #4 35s ▶ Testen

Welchen Scheitel hat die Parabel zu f(x) = x² + 8x + 7?

  • ● (−4 | −9)
  • ○ (4 | −9)
  • ○ (−4 | 7)
x² + 8x + 7 = (x + 4)² − 16 + 7 = (x + 4)² − 9, also S(−4 | −9). Bei (−4 | 7) wurde das Abziehen der 16 vergessen, bei (4 | −9) das Vorzeichen der Verschiebung.
Multiple Choice #5 35s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = x² − 6x + 5. Welche Scheitelform hat die Funktion?

  • ● f(x) = (x − 3)² − 4
  • ○ f(x) = (x + 3)² − 4
  • ○ f(x) = (x − 3)² + 5
x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4. Der Scheitel S(3 | −4) liegt rechts der y-Achse unter der x-Achse, das passt zum Graphen. Bei + 5 wurde das Ergänzte nicht abgezogen.
Wahr / Falsch #6 25s ▶ Testen

Die Parabel zu f(x) = x² − 4x + 9 hat den Scheitel S(2 | 5).

✓ Wahr
x² − 4x + 9 = (x − 2)² − 4 + 9 = (x − 2)² + 5, also S(2 | 5). Wer S(2 | 9) angibt, hat das Abziehen der 4 vergessen; die 9 ist der y-Achsenabschnitt, nicht die y-Koordinate des Scheitels.
Multiple Choice #7 40s ▶ Testen

Welche Scheitelform hat f(x) = 2x² + 8x + 3?

  • ● f(x) = 2(x + 2)² − 5
  • ○ f(x) = 2(x + 2)² − 1
  • ○ f(x) = 2(x + 4)² − 5
2x² + 8x + 3 = 2(x² + 4x) + 3 = 2((x + 2)² − 4) + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5. Bei − 1 wurde die −4 nicht mit 2 multipliziert, bei (x + 4) wurde die 8 statt der 4 halbiert.
Multiple Choice #8 40s ▶ Testen

Welche Scheitelform hat f(x) = −x² + 6x − 5?

  • ● f(x) = −(x − 3)² + 4
  • ○ f(x) = −(x − 3)² − 14
  • ○ f(x) = −(x + 3)² + 4
−x² + 6x − 5 = −(x² − 6x) − 5 = −((x − 3)² − 9) − 5 = −(x − 3)² + 9 − 5 = −(x − 3)² + 4. Das Minus vor der Klammer dreht die −9 zu +9.
Wahr / Falsch #9 30s ▶ Testen

Es gilt 3x² + 12x + 5 = 3(x + 2)² − 7.

✓ Wahr
3(x + 2)² − 7 = 3(x² + 4x + 4) − 7 = 3x² + 12x + 12 − 7 = 3x² + 12x + 5. Die Scheitelform stimmt.
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Ergänze: x² + 14x = (x + 7)² − ___

✓ Antwort: 49
Die Hälfte von 14 ist 7, und 7² = 49. Wer (x + 7)² ausmultipliziert, erhält x² + 14x + 49; die 49 zieht man wieder ab.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Wie lautet die y-Koordinate des Scheitels von f(x) = x² + 10x + 30?

✓ Antwort: 5
x² + 10x + 30 = (x + 5)² − 25 + 30 = (x + 5)² + 5. Der Scheitel ist S(−5 | 5), die y-Koordinate also 5.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Wie lautet die y-Koordinate des Scheitels von f(x) = 4x² − 8x + 1?

✓ Antwort: -3
4x² − 8x + 1 = 4(x² − 2x) + 1 = 4((x − 1)² − 1) + 1 = 4(x − 1)² − 4 + 1 = 4(x − 1)² − 3. Der Scheitel ist S(1 | −3).
Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Bring f(x) = x² − 6x + 11 durch quadratische Ergänzung auf Scheitelform. Trag die y-Koordinate des Scheitels ein.

✓ Antwort: 2
Zahleneingabe #5 40s ▶ Testen

Bring f(x) = x² + 8x + 13 durch quadratische Ergänzung auf Scheitelform. Trag die y-Koordinate des Scheitels ein.

✓ Antwort: -3
Schwer
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Ein Quadrat mit der Seite x wird durch zwei Streifen der Breite 5 zu einem größeren Quadrat der Seite x + 5 ergänzt. Wie groß ist die Fläche des fehlenden Eckstücks?

✓ Antwort: 25
Das Eckstück ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 5, seine Fläche ist 5 · 5 = 25. Die beiden Streifen ergeben 10x, also p = 10 und 25 = (p/2)².
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Wie groß ist der kleinste Funktionswert von f(x) = x² − 10x + 40?

✓ Antwort: 15
x² − 10x + 40 = (x − 5)² − 25 + 40 = (x − 5)² + 15. Die Parabel öffnet nach oben, der tiefste Punkt ist S(5 | 15): der kleinste Wert ist 15.
Zahleneingabe #3 45s ▶ Testen

Wie groß ist der größte Funktionswert von f(x) = −2x² + 8x + 1?

✓ Antwort: 9
−2x² + 8x + 1 = −2(x² − 4x) + 1 = −2((x − 2)² − 4) + 1 = −2(x − 2)² + 8 + 1 = −2(x − 2)² + 9. Die Parabel öffnet nach unten, der Scheitel S(2 | 9) ist der höchste Punkt.
KI-bewertete Rechnung #4 300s ▶ Testen

Gegeben ist f(x) = 2x² − 12x + 13. Bestimme durch quadratische Ergänzung die Scheitelform und den Scheitel. Berechne mithilfe der Symmetrie die Funktionswerte für x = 1, 2, 4 und 5 und zeichne den Graphen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 2 ausklammern: 2(x² − 6x) + 13 = 2((x − 3)² − 9) + 13 = 2(x − 3)² − 18 + 13 = 2(x − 3)² − 5, Scheitel S(3 | −5). f(2) = f(4) = 8 − 24 + 13 = −3 und f(1) = f(5) = 2 − 12 + 13 = 3. Graph: nach oben geöffnete, symmetrische Parabel durch (1 | 3), (2 | −3), (3 | −5), (4 | −3), (5 | 3).
f(x) = 2(x − 3)² − 5 mit S(3 | −5). Wegen der Symmetrie gilt f(2) = f(4) = −3 und f(1) = f(5) = 3; die Parabel geht durch diese fünf Punkte.