Quadratisches Wachstum
Die Tabelle gibt y für x = 1, 2, 3, 4. Welche Wertefolge wächst quadratisch?
Erklärung: Bei 3, 6, 11, 18 sind die ersten Differenzen 3, 5, 7 und die zweiten konstant 2. Bei 3, 6, 9, 12 sind schon die ersten gleich (linear), bei 3, 6, 12, 24 wachsen auch die zweiten Differenzen (3, 6).
Die Wertefolge 1, 3, 7, 15, 31 wächst quadratisch.
Erklärung: Die ersten Differenzen sind 2, 4, 8, 16, die zweiten 2, 4, 8. Sie sind nicht konstant, die Folge verdoppelt ihren Zuwachs jedes Mal. Schnelles Wachstum allein macht sie nicht quadratisch.
Für x = 0, 1, 2, 3, 4 sind die Punkte der Folgen A und B eingezeichnet. Welche Folge wächst quadratisch?
Erklärung: A steigt um 2, 2, 2, 2 (linear). B hat die y-Werte 1, 2, 5, 10, 17: erste Differenzen 1, 3, 5, 7, zweite konstant 2. Nur B wächst quadratisch.
Zu y = 2x² gehört die Wertetabelle x = 0, 1, 2, 3 mit y = 0, 2, 8, 18. Wie groß ist die zweite Differenz?
Erklärung: Erste Differenzen: 2, 6, 10. Zweite Differenzen: 4, 4. Bei y = a·x² ist sie 2a, hier 2 · 2 = 4.
Die Werte einer quadratisch wachsenden Folge sind 6, 11, 18, 27. Welcher Wert folgt als nächster?
Erklärung: Erste Differenzen: 5, 7, 9. Die zweiten Differenzen sind 2, also folgt die erste Differenz 11 und damit 27 + 11 = 38.
Bei y = 0,5 · x² ist y(4) = 8. Wie groß ist y(8)?
Erklärung: x wird verdoppelt, also wird y vervierfacht: 4 · 8 = 32. Direkt: 0,5 · 8² = 0,5 · 64 = 32. 16 wäre der lineare Fehlschluss (doppelt so viel), 12 ergibt sich aus 8 + 4.
Wer statt mit 40 km/h nur mit 20 km/h fährt, hat nach der Faustformel (v : 10)² nur ein Viertel des Bremswegs.
Erklärung: Bei 40 km/h sind es (40 : 10)² = 16 m, bei 20 km/h (20 : 10)² = 4 m, und 4 m ist ein Viertel von 16 m. Halbe Geschwindigkeit bedeutet ein Viertel des Bremswegs, nicht die Hälfte.
Bei y = 3x² ist y(2) = 12. Wie groß ist y(4)?
Erklärung: Die Verdoppelung von x = 2 auf x = 4 vervierfacht y: 4 · 12 = 48. Nachrechnen: 3 · 4² = 3 · 16 = 48.
Ein Wagen hat bei 70 km/h einen Bremsweg von 49 m. Wie lang ist der Bremsweg bei 140 km/h nach der Faustformel (in m)?
Erklärung: 140 km/h sind das Doppelte von 70 km/h, der Bremsweg wird also vervierfacht: 4 · 49 m = 196 m. Kontrolle: (140 : 10)² = 14² = 196.
Welcher Punkt liegt auf der Normalparabel y = x²?
Erklärung: Für x = −5 ist y = (−5)² = 25. Das Quadrat einer negativen Zahl ist positiv, deshalb ist (−5 | −25) falsch. (5 | 10) verwechselt Quadrieren mit Verdoppeln.
Der Punkt P(3 | 9) liegt auf der Normalparabel. Dann liegt auch der Punkt (−3 | 9) auf ihr.
Erklärung: Wegen (−3)² = 3² = 9 liegen (3 | 9) und (−3 | 9) beide auf y = x². Die Parabel ist symmetrisch zur y-Achse.
Welchen Wert hat der Term −4²?
Erklärung: Ohne Klammer wird nur die 4 quadriert: −4² = −(4²) = −16. Erst (−4)² = 16. −8 entsteht durch −4 · 2.
Ergänze: (−6)² = ___
Erklärung: Minus mal Minus ist Plus: (−6) · (−6) = 36.
Berechne −5² + (−5)².
Erklärung: −5² = −25 und (−5)² = 25. Die Summe ist −25 + 25 = 0.
Eine Wertetabelle gehört zu einer Funktion: x = 0, 1, 2, 3, 4 und
y = 3, 4, 7, 12, 19. Berechne die ersten und die zweiten Differenzen,
begründe damit, dass das Wachstum quadratisch und nicht linear ist, und
bestimme den Wert für x = 5.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die ersten Differenzen 1, 3, 5, 7 wachsen, die zweiten sind konstant 2: quadratisches Wachstum. Die nächste erste Differenz ist 9, also y(5) = 19 + 9 = 28 (die Tabelle gehört zu y = x² + 3).