Quadratisches Wachstum

Quadratic growth

Mathematik Klasse 9 15 Aufgaben

FunktionenQuadratischWachstumsmodelle

Bei quadratischem Wachstum wächst der Zuwachs selbst gleichmäßig: Die zweiten Differenzen einer Wertetabelle sind konstant, die ersten nicht. Verdoppelt man x, vervierfacht sich y, und die Normalparabel ist symmetrisch zur y-Achse. Der Abschnitt räumt den linearen Fehlschluss aus (doppelt so schnell, doppelter Bremsweg; De Bock u. a. 2002) und die Verwechslung von (−4)² und −4². Er bereitet die Parameter a, d, e und den Scheitel vor. Zielort: alle Funktionsgraphen der folgenden Abschnitte und die Extremwertprobleme in M9 2.2.

Die zweiten Differenzen

Die Faustformel der Fahrschule: Der Bremsweg in Metern ist $(v : 10)^{2}$ , dabei ist v die Geschwindigkeit in km/h. Bei 10, 20, 30, 40 und 50 km/h, also in gleichen Schritten von 10 km/h, sind das 1, 4, 9, 16 und 25 m. Der Weg wächst, aber nicht gleichmäßig: Die ersten Differenzen (der Zuwachs von Wert zu Wert) sind 3, 5, 7, 9 und wachsen selbst. Erst die zweiten Differenzen, die Zuwächse der Zuwächse, sind konstant: immer 2.

Genau das macht das quadratische Wachstum aus. Bei linearem Wachstum sind schon die ersten Differenzen gleich. Damit hat man ein Kennzeichen, das man in jeder Wertetabelle mit gleichen x-Schritten prüfen kann.

Blau: erste Differenzen, rosa: zweite Differenzen. Links sind schon die ersten gleich, rechts erst die zweiten.

Doppelt so schnell, vierfacher Weg

Wer doppelt so schnell fährt, hat nicht den doppelten, sondern den vierfachen Bremsweg: Von 30 auf 60 km/h steigt der Weg von 9 m auf 36 m. Für jede Funktion $y = a \cdot x^{2}$ gilt: Verdoppelt man x, wird y viermal so groß, für jedes x und jedes a. Der Grund steckt im Quadrat: $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ . Wächst x auf das Dreifache, wächst y sogar auf das Neunfache. Der Gedanke „doppelte Geschwindigkeit, doppelter Weg“ fühlt sich richtig an und ist bei Quadraten doch falsch.

Verändere x₀ und a. Wie verändert sich der Quotient von y(2x₀) und y(x₀)?

Die Symmetrie der Parabel

Trägt man die Punkte $(x ∣ x^{2})$ ein, entsteht die Normalparabel. Sie ist symmetrisch zur y-Achse: $(- 3)^{2} = 9 = 3^{2}$ . Das Quadrat einer negativen Zahl ist also positiv, und x und −x haben denselben y-Wert. Ihr tiefster Punkt, der Scheitel, liegt im Ursprung, denn ein Quadrat ist nie negativ. Zum Punkt (3 | 9) gehört also immer auch der Spiegelpunkt (−3 | 9). Vorsicht bei der Schreibweise: $- 3^{2}$ bedeutet $- (3^{2}) = - 9$ , nur $(- 3)^{2}$ ist 9.

Schiebe x₀ ins Negative. Was passiert mit dem Spiegelpunkt Q?

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Die Tabelle gibt y für x = 1, 2, 3, 4. Welche Wertefolge wächst quadratisch?

● 3, 6, 11, 18
○ 3, 6, 9, 12
○ 3, 6, 12, 24

Bei 3, 6, 11, 18 sind die ersten Differenzen 3, 5, 7 und die zweiten konstant 2. Bei 3, 6, 9, 12 sind schon die ersten gleich (linear), bei 3, 6, 12, 24 wachsen auch die zweiten Differenzen (3, 6).

Wahr / Falsch #2 20s ▶ Testen

Die Wertefolge 1, 3, 7, 15, 31 wächst quadratisch.

✓ Falsch

Die ersten Differenzen sind 2, 4, 8, 16, die zweiten 2, 4, 8. Sie sind nicht konstant, die Folge verdoppelt ihren Zuwachs jedes Mal. Schnelles Wachstum allein macht sie nicht quadratisch.

Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Für x = 0, 1, 2, 3, 4 sind die Punkte der Folgen A und B eingezeichnet. Welche Folge wächst quadratisch?

● Folge B
○ Folge A
○ beide Folgen

A steigt um 2, 2, 2, 2 (linear). B hat die y-Werte 1, 2, 5, 10, 17: erste Differenzen 1, 3, 5, 7, zweite konstant 2. Nur B wächst quadratisch.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Bei y = 0,5 · x² ist y(4) = 8. Wie groß ist y(8)?

● 32
○ 16
○ 12

x wird verdoppelt, also wird y vervierfacht: 4 · 8 = 32. Direkt: 0,5 · 8² = 0,5 · 64 = 32. 16 wäre der lineare Fehlschluss (doppelt so viel), 12 ergibt sich aus 8 + 4.

Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

Wer statt mit 40 km/h nur mit 20 km/h fährt, hat nach der Faustformel (v : 10)² nur ein Viertel des Bremswegs.

✓ Wahr

Bei 40 km/h sind es (40 : 10)² = 16 m, bei 20 km/h (20 : 10)² = 4 m, und 4 m ist ein Viertel von 16 m. Halbe Geschwindigkeit bedeutet ein Viertel des Bremswegs, nicht die Hälfte.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welcher Punkt liegt auf der Normalparabel y = x²?

● (−5 | 25)
○ (−5 | −25)
○ (5 | 10)

Für x = −5 ist y = (−5)² = 25. Das Quadrat einer negativen Zahl ist positiv, deshalb ist (−5 | −25) falsch. (5 | 10) verwechselt Quadrieren mit Verdoppeln.

Wahr / Falsch #7 20s ▶ Testen

Der Punkt P(3 | 9) liegt auf der Normalparabel. Dann liegt auch der Punkt (−3 | 9) auf ihr.

✓ Wahr

Wegen (−3)² = 3² = 9 liegen (3 | 9) und (−3 | 9) beide auf y = x². Die Parabel ist symmetrisch zur y-Achse.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welchen Wert hat der Term −4²?

● −16
○ 16
○ −8

Ohne Klammer wird nur die 4 quadriert: −4² = −(4²) = −16. Erst (−4)² = 16. −8 entsteht durch −4 · 2.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Zu y = 2x² gehört die Wertetabelle x = 0, 1, 2, 3 mit y = 0, 2, 8, 18. Wie groß ist die zweite Differenz?

✓ Antwort: 4

Erste Differenzen: 2, 6, 10. Zweite Differenzen: 4, 4. Bei y = a·x² ist sie 2a, hier 2 · 2 = 4.

Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Bei y = 3x² ist y(2) = 12. Wie groß ist y(4)?

✓ Antwort: 48

Die Verdoppelung von x = 2 auf x = 4 vervierfacht y: 4 · 12 = 48. Nachrechnen: 3 · 4² = 3 · 16 = 48.

Lückentext #3 15s ▶ Testen

Ergänze: (−6)² = ___

✓ Antwort: 36

Minus mal Minus ist Plus: (−6) · (−6) = 36.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Werte einer quadratisch wachsenden Folge sind 6, 11, 18, 27. Welcher Wert folgt als nächster?

✓ Antwort: 38

Erste Differenzen: 5, 7, 9. Die zweiten Differenzen sind 2, also folgt die erste Differenz 11 und damit 27 + 11 = 38.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Wagen hat bei 70 km/h einen Bremsweg von 49 m. Wie lang ist der Bremsweg bei 140 km/h nach der Faustformel (in m)?

✓ Antwort: 196

140 km/h sind das Doppelte von 70 km/h, der Bremsweg wird also vervierfacht: 4 · 49 m = 196 m. Kontrolle: (140 : 10)² = 14² = 196.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Berechne −5² + (−5)².

✓ Antwort: 0

−5² = −25 und (−5)² = 25. Die Summe ist −25 + 25 = 0.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Eine Wertetabelle gehört zu einer Funktion: x = 0, 1, 2, 3, 4 und y = 3, 4, 7, 12, 19. Berechne die ersten und die zweiten Differenzen, begründe damit, dass das Wachstum quadratisch und nicht linear ist, und bestimme den Wert für x = 5. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Erste Differenzen: 1, 3, 5, 7 (nicht konstant, also nicht linear). Zweite Differenzen: 2, 2, 2 (konstant, also quadratisch). Die nächste erste Differenz ist 7 + 2 = 9, also y(5) = 19 + 9 = 28.

Die ersten Differenzen 1, 3, 5, 7 wachsen, die zweiten sind konstant 2: quadratisches Wachstum. Die nächste erste Differenz ist 9, also y(5) = 19 + 9 = 28 (die Tabelle gehört zu y = x² + 3).