Biquadratische Gleichungen
Setze z = x². Welche Gleichung entsteht aus x⁴ − 8x² + 15 = 0?
Erklärung: Es ist x⁴ = (x²)² = z² und x² = z, also z² − 8z + 15 = 0. z⁴ − 8z² + 15 = 0 ersetzt nur x durch z und substituiert nichts; in der dritten Gleichung steht noch ein x.
Welche Gleichung lässt sich mit z = x² auf eine quadratische Gleichung in z zurückführen?
Erklärung: Nur x⁴ − 6x² + 5 enthält ausschließlich x⁴, x² und die Konstante. In x⁴ − 6x³ + 5 stört x³, in x⁵ − 6x² + 5 der ungerade Exponent 5.
Die Gleichung x⁴ + 3x³ − 4 = 0 ist biquadratisch.
Erklärung: Biquadratisch heißt: nur x⁴, x² und eine Konstante. Der Summand 3x³ verhindert die Substitution z = x².
Mit z = x² wird 2x⁴ − 3x² − 5 = 0 zu a·z² + b·z + c = 0. Wie groß ist b?
Erklärung: 2x⁴ − 3x² − 5 = 2z² − 3z − 5, also a = 2, b = −3, c = −5.
Mit z = x² wird x⁴ − 11x² + 18 = 0 zu z² − 11z + 18 = 0. Wie groß ist die kleinere der beiden z-Lösungen?
Erklärung: z² − 11z + 18 = (z − 2)(z − 9), also z = 2 oder z = 9. Die kleinere ist 2.
Bei x⁴ − 20x² + 64 = 0 ergibt sich z = 16. Welche x-Werte gehören dazu?
Erklärung: z war x²: Aus x² = 16 folgen x = 4 und x = −4. Die z-Lösung 16 ist nicht selbst die Nullstelle, und die negative Wurzel darf nicht fehlen.
Die Abbildung zeigt p(z) = z² − 13z + 36. Welche x-Werte lösen x⁴ − 13x² + 36 = 0?
Erklärung: Die Nullstellen von p sind z = 4 und z = 9. Wegen z = x² gilt x² = 4 oder x² = 9, also x = ±2 oder x = ±3: vier Lösungen.
Aus x² = −4 folgen die Lösungen x = 2 und x = −2.
Erklärung: Ein Quadrat ist nie negativ: x² = −4 hat keine reelle Lösung. Erst (±2)² = 4 wäre möglich.
Berechne die positive Lösung von x² = 2,25.
Erklärung: x = √2,25 = 1,5, denn 1,5² = 2,25.
Bestimme die größte Lösung von x⁴ − 17x² + 16 = 0.
Erklärung: Mit z = x²: z² − 17z + 16 = (z − 1)(z − 16), also z = 1 oder z = 16. Zurück: x² = 1 gibt x = ±1, x² = 16 gibt x = ±4. Die größte Lösung ist 4.
Die Abbildung zeigt p(z) = z² + 2z − 8. Wie viele reelle Lösungen hat x⁴ + 2x² − 8 = 0?
Erklärung: Die Nullstellen von p sind z = −4 und z = 2. Nur z = 2 führt auf x = ±√2; z = −4 hat keine Wurzel, denn x² ist nie negativ. Also zwei Lösungen, nicht vier.
Die Abbildung zeigt p(z) = z² − 6z. Wie viele Lösungen hat x⁴ − 6x² = 0?
Erklärung: Die Nullstellen von p sind z = 0 und z = 6. Aus z = 6 folgen x = ±√6, aus z = 0 nur x = 0: drei Lösungen. Die 0 zählt nur einmal.
Die Gleichung x⁴ − 10x² + 9 = 0 hat vier reelle Lösungen.
Erklärung: z² − 10z + 9 = (z − 1)(z − 9) gibt z = 1 und z = 9, beide positiv: x = ±1 und x = ±3. Vier Lösungen.
Wie viele reelle Lösungen hat x⁴ + 5x² + 4 = 0?
Erklärung: z² + 5z + 4 = (z + 1)(z + 4) gibt z = −1 und z = −4, beide negativ. Ein Quadrat x² kann nicht negativ sein: keine Lösung.
Wie viele reelle Lösungen hat x⁴ − 7x² + 12 = 0?
Erklärung: z² − 7z + 12 = (z − 3)(z − 4) gibt z = 3 und z = 4, beide positiv: x = ±√3 und x = ±2. Vier Lösungen.
Löse die Gleichung x⁴ − 2x² − 8 = 0. Führe eine Substitution durch, löse die entstandene quadratische Gleichung, rechne auf x zurück und gib alle reellen Lösungen an. Begründe, warum nicht jede Lösung von z zu einer Lösung von x führt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: z = x²: z² − 2z − 8 = 0 gibt z = 4 oder z = −2. x² = 4: x = ±2. x² = −2: keine Lösung. Lösungen: x = −2 und x = 2.