Biquadratische Gleichungen

Biquadratic equations

Mathematik Klasse 10 16 Aufgaben

FunktionenPolynomBiquadratische GleichungSymbolische Ersetzung

Eine Gleichung ax⁴ + bx² + c = 0 wird mit z = x² zu einer quadratischen Gleichung in z; ihre Lösungen müssen auf x zurückgerechnet werden, und jedes positive z liefert zwei, z = 0 eine und ein negatives z keine Nullstelle. Der Abschnitt räumt aus, dass z schon die Lösung ist, dass x⁴ zu z⁴ wird oder dass negative z-Werte weiterhelfen. Er bereitet die Nullstellen für die Skizze vor und die Substitution bei Exponentialgleichungen.

Substitution

Eine biquadratische Gleichung hat die Form $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ : nur $x^{4}$ , $x^{2}$ und eine Konstante. Wegen $x^{4} = (x^{2})^{2}$ ersetzt man $z = x^{2}$ und erhält eine quadratische Gleichung. Aus $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ wird $z^{2} - 5 z + 4 = 0$ mit den Lösungen z = 1 und z = 4. Diese Gleichung löst man wie in der neunten Klasse, mit Faktorisieren oder der Lösungsformel.

Verändere b und c. Wo liegen die z-Lösungen, und wann werden sie grau?

Rücksubstitution

Die z-Lösung ist noch keine Nullstelle. Wegen $z = x^{2}$ folgt aus z = 4 sowohl x = 2 als auch x = −2, aus z = 1 entsprechend x = ±1. Jedes positive z gibt zwei x-Werte, z = 0 genau einen (x = 0), ein negatives z keinen, denn ein Quadrat ist nie negativ. So hat $x^{4} + x^{2} - 6 = 0$ mit z = 2 und z = −3 nur die zwei Lösungen $\pm 2$ . Möglich sind also 0 bis 4 Lösungen. Fehlt die Konstante, klammert man auch aus: $x^{4} - 9 x^{2} = x^{2} (x^{2} - 9) = 0$ gibt x = 0 und x = ±3, also drei Lösungen.

Stelle b und c ein. Wie viele Nullstellen hat f, wenn beide z-Werte negativ sind?

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Setze z = x². Welche Gleichung entsteht aus x⁴ − 8x² + 15 = 0?

● z² − 8z + 15 = 0
○ z⁴ − 8z² + 15 = 0
○ z² − 8x² + 15 = 0

Es ist x⁴ = (x²)² = z² und x² = z, also z² − 8z + 15 = 0. z⁴ − 8z² + 15 = 0 ersetzt nur x durch z und substituiert nichts; in der dritten Gleichung steht noch ein x.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Welche Gleichung lässt sich mit z = x² auf eine quadratische Gleichung in z zurückführen?

● x⁴ − 6x² + 5 = 0
○ x⁴ − 6x³ + 5 = 0
○ x⁵ − 6x² + 5 = 0

Nur x⁴ − 6x² + 5 enthält ausschließlich x⁴, x² und die Konstante. In x⁴ − 6x³ + 5 stört x³, in x⁵ − 6x² + 5 der ungerade Exponent 5.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die Gleichung x⁴ + 3x³ − 4 = 0 ist biquadratisch.

✓ Falsch

Biquadratisch heißt: nur x⁴, x² und eine Konstante. Der Summand 3x³ verhindert die Substitution z = x².

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Bei x⁴ − 20x² + 64 = 0 ergibt sich z = 16. Welche x-Werte gehören dazu?

● x = 4 und x = −4
○ x = 16
○ x = 4

z war x²: Aus x² = 16 folgen x = 4 und x = −4. Die z-Lösung 16 ist nicht selbst die Nullstelle, und die negative Wurzel darf nicht fehlen.

Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt p(z) = z² − 13z + 36. Welche x-Werte lösen x⁴ − 13x² + 36 = 0?

● x = 2, x = −2, x = 3, x = −3
○ x = 4 und x = 9
○ x = 2 und x = 3

Die Nullstellen von p sind z = 4 und z = 9. Wegen z = x² gilt x² = 4 oder x² = 9, also x = ±2 oder x = ±3: vier Lösungen.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Aus x² = −4 folgen die Lösungen x = 2 und x = −2.

✓ Falsch

Ein Quadrat ist nie negativ: x² = −4 hat keine reelle Lösung. Erst (±2)² = 4 wäre möglich.

Multiple Choice #7 30s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt p(z) = z² + 2z − 8. Wie viele reelle Lösungen hat x⁴ + 2x² − 8 = 0?

● 2
○ 4
○ 0

Die Nullstellen von p sind z = −4 und z = 2. Nur z = 2 führt auf x = ±√2; z = −4 hat keine Wurzel, denn x² ist nie negativ. Also zwei Lösungen, nicht vier.

Multiple Choice #8 30s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt p(z) = z² − 6z. Wie viele Lösungen hat x⁴ − 6x² = 0?

● 3
○ 2
○ 4

Die Nullstellen von p sind z = 0 und z = 6. Aus z = 6 folgen x = ±√6, aus z = 0 nur x = 0: drei Lösungen. Die 0 zählt nur einmal.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Die Gleichung x⁴ − 10x² + 9 = 0 hat vier reelle Lösungen.

✓ Wahr

z² − 10z + 9 = (z − 1)(z − 9) gibt z = 1 und z = 9, beide positiv: x = ±1 und x = ±3. Vier Lösungen.

Mittel

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Mit z = x² wird 2x⁴ − 3x² − 5 = 0 zu a·z² + b·z + c = 0. Wie groß ist b?

✓ Antwort: -3

2x⁴ − 3x² − 5 = 2z² − 3z − 5, also a = 2, b = −3, c = −5.

Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Berechne die positive Lösung von x² = 2,25.

✓ Antwort: 1.5

x = √2,25 = 1,5, denn 1,5² = 2,25.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Wie viele reelle Lösungen hat x⁴ + 5x² + 4 = 0?

✓ Antwort: 0

z² + 5z + 4 = (z + 1)(z + 4) gibt z = −1 und z = −4, beide negativ. Ein Quadrat x² kann nicht negativ sein: keine Lösung.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Mit z = x² wird x⁴ − 11x² + 18 = 0 zu z² − 11z + 18 = 0. Wie groß ist die kleinere der beiden z-Lösungen?

✓ Antwort: 2

z² − 11z + 18 = (z − 2)(z − 9), also z = 2 oder z = 9. Die kleinere ist 2.

Zahleneingabe #2 50s ▶ Testen

Bestimme die größte Lösung von x⁴ − 17x² + 16 = 0.

✓ Antwort: 4

Mit z = x²: z² − 17z + 16 = (z − 1)(z − 16), also z = 1 oder z = 16. Zurück: x² = 1 gibt x = ±1, x² = 16 gibt x = ±4. Die größte Lösung ist 4.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Wie viele reelle Lösungen hat x⁴ − 7x² + 12 = 0?

✓ Antwort: 4

z² − 7z + 12 = (z − 3)(z − 4) gibt z = 3 und z = 4, beide positiv: x = ±√3 und x = ±2. Vier Lösungen.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Löse die Gleichung x⁴ − 2x² − 8 = 0. Führe eine Substitution durch, löse die entstandene quadratische Gleichung, rechne auf x zurück und gib alle reellen Lösungen an. Begründe, warum nicht jede Lösung von z zu einer Lösung von x führt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Substitution z = x²: z² − 2z − 8 = 0, also (z − 4)(z + 2) = 0 und z = 4 oder z = −2. Rücksubstitution: x² = 4 gibt x = 2 oder x = −2. x² = −2 hat keine reelle Lösung, weil ein Quadrat nicht negativ ist. Lösungsmenge: {−2; 2}.

z = x²: z² − 2z − 8 = 0 gibt z = 4 oder z = −2. x² = 4: x = ±2. x² = −2: keine Lösung. Lösungen: x = −2 und x = 2.