Nullstellen und Vielfachheit
Welche Nullstellen hat f(x) = xÂł â 9x?
Erklärung: Ausklammern: xÂł â 9x = x(x² â 9) = x(x â 3)(x + 3). Die Faktoren werden null bei x = 0, x = 3 und x = â3. Wer durch x teilt, verliert x = 0; wer x² = 9x ansetzt, kommt auf 0 und 9.
Welche Gleichung entsteht aus xÂł â 16x = 0 durch Ausklammern?
Erklärung: Es gilt x(x² â 16) = xÂł â 16x. Bei x²(x â 16) wäre der zweite Summand â16x², bei x(x â 16) fehlt der Grad 3.
Wie viele verschiedene Nullstellen hat f(x) = xâ´ â 16x²?
Erklärung: xâ´ â 16x² = x²(x² â 16) = x²(x â 4)(x + 4). Die Nullstellen sind 0, 4 und â4: drei verschiedene (die 0 zählt doppelt, aber nur einmal als Stelle).
Bestimme die grĂśĂte Nullstelle von f(x) = 2xÂł â 8x².
Erklärung: 2xÂł â 8x² = 2x²(x â 4). Die Faktoren sind null bei x = 0 und x = 4. Die grĂśĂte Nullstelle ist 4.
Welche Nullstellen hat f(x) = (x + 4)(x â 7)?
Erklärung: Ein Faktor (x â xâ) ist bei xâ null. x + 4 = 0 gibt x = â4, x â 7 = 0 gibt x = 7. Die Vorzeichen der Zahlen in den Klammern sind gerade umgekehrt zu den Nullstellen.
Welcher Term gehĂśrt zum abgebildeten Graphen?
Erklärung: Der Graph schneidet die x-Achse bei â2 und bei 4. Zur Nullstelle â2 gehĂśrt der Faktor (x â (â2)) = (x + 2), zur Nullstelle 4 der Faktor (x â 4). Bei ½(x â 2)(x + 4) wären die Nullstellen 2 und â4.
Eine Funktion enthält den Linearfaktor (x + 7). Bei welchem x liegt diese Nullstelle?
Erklärung: x + 7 = 0 gibt x = â7.
Berechne die Summe aller Nullstellen von f(x) = (x â 2)(x + 1)(x â 6).
Erklärung: Die Nullstellen sind 2, â1 und 6. Ihre Summe ist 2 â 1 + 6 = 7.
Welche Vielfachheit hat die Nullstelle x = 3 von f(x) = (x â 3)â´(x + 2)?
Erklärung: Die Vielfachheit ist der Exponent des Linearfaktors (x â 3): Er ist 4. Die 1 zählt nur, dass x = 3 einmal als Stelle vorkommt, die 5 ist der Grad.
Die Funktion f(x) = (x â 2)²(x + 5)/10 hat drei verschiedene Nullstellen. Ihr Graph ist abgebildet.
Erklärung: Es gibt nur die Nullstellen 2 (doppelt, BerĂźhrpunkt) und â5. Zusammen mit Vielfachheit gezählt sind es drei, verschieden aber nur zwei.
Wie groĂ ist die Summe der Vielfachheiten aller Nullstellen von f(x) = (x â 1)²(x + 2)Âł?
Erklärung: Die Nullstelle 1 hat die Vielfachheit 2, die Nullstelle â2 die Vielfachheit 3: 2 + 3 = 5 (das ist zugleich der Grad).
Eine Funktion vom Grad 5 hat die Nullstelle 2 mit Vielfachheit 3 und die Nullstelle â1 mit Vielfachheit 1. Wie viel Vielfachheit bleibt hĂśchstens noch fĂźr weitere Nullstellen?
Erklärung: Die Vielfachheiten dĂźrfen zusammen hĂśchstens den Grad ergeben: 5 â (3 + 1) = 1.
Wie verhält sich der Graph von f(x) = (x â 2)²(x + 3) bei der Nullstelle x = 2?
Erklärung: Der Faktor (x â 2) hat den Exponenten 2, gerade: Das Quadrat ist nie negativ, der Graph berĂźhrt die x-Achse in x = 2 und wechselt nicht das Vorzeichen.
Welche Vielfachheit hat die Nullstelle bei x = â1 im abgebildeten Graphen?
Erklärung: Bei x = â1 berĂźhrt der Graph die x-Achse nur und kehrt um: gerade Vielfachheit, hier 2. Vielfachheit 1 wĂźrde die Achse schneiden, Vielfachheit 3 waagerecht durchsetzen.
Welche Vielfachheit hat die Nullstelle bei x = â1 im abgebildeten Graphen?
Erklärung: Bei x = â1 setzt der Graph die x-Achse durch, aber waagerecht (mit flacher Tangente): ungerade Vielfachheit grĂśĂer als 1, hier 3. Vielfachheit 1 wäre ein steiles Schneiden, Vielfachheit 2 ein BerĂźhren.
FĂźr f(x) = xâ´(x â 2) gilt: An der Nullstelle x = 0 ___ der Graph die x-Achse (berĂźhrt oder schneidet).
Erklärung: Der Faktor xⴠhat den geraden Exponenten 4 und wechselt das Vorzeichen nicht: Der Graph berßhrt die x-Achse in x = 0 und läuft auf derselben Seite weiter.
An wie vielen Nullstellen von f(x) = (x â 1)(x + 2)²(x â 3)Âł schneidet der Graph die x-Achse (statt sie nur zu berĂźhren)?
Erklärung: Ungerade Vielfachheit schneidet: x = 1 (Vielfachheit 1) und x = 3 (Vielfachheit 3). Bei x = â2 (Vielfachheit 2) berĂźhrt der Graph nur.
Bestimme alle Nullstellen von f(x) = xâľ â 6xâ´ + 9xÂł mit ihrer Vielfachheit. Beschreibe, wie sich der Graph an jeder Nullstelle verhält, und prĂźfe die Summe der Vielfachheiten am Grad.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: xÂł ausklammern: xÂł(x² â 6x + 9) = xÂł(x â 3)². Bei 0 Vielfachheit 3 (Sattel), bei 3 Vielfachheit 2 (BerĂźhrpunkt). 3 + 2 = 5 ist der Grad.