Nullstellen und Vielfachheit

Zeros and multiplicity

Mathematik Klasse 10 18 Aufgaben
FunktionenPolynomNullstellenVielfachheit

Nullstellen einer ganzrationalen Funktion findet man durch Ausklammern und Nullsetzen der Linearfaktoren; der Exponent eines Faktors (x − x₀)ᵏ ist die Vielfachheit k, und sie entscheidet, ob der Graph die x-Achse schneidet, berührt oder waagerecht durchsetzt. Der Abschnitt räumt aus, dass (x + 3) die Nullstelle +3 liefert, dass beim Ausklammern x = 0 verloren gehen darf und dass gerade Vielfachheit schneidet. Er bereitet die Skizze und den Schluss vom Graphen auf den Term vor.

Nullstellen aus der Produktform

Eine Nullstelle ist ein x mit . Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist; deshalb sucht man zuerst die Produktform. Bei hilft Ausklammern: hat die Nullstellen 0, 2 und −2. Nie durch x teilen, sonst geht x = 0 verloren! Zu jeder Nullstelle gehört der Linearfaktor ; der Faktor gehört also zur Nullstelle , nicht zu 3. Jeder Linearfaktor liefert genau eine Nullstelle; deshalb hat eine Funktion vom Grad n höchstens n Nullstellen.

Verschiebe p. Bei welchen Werten von p fallen zwei Nullstellen zusammen?

Vielfachheit

Kommt ein Faktor mehrfach vor, etwa , hat die Nullstelle 1 die Vielfachheit 3, den Exponenten des Faktors. Die Vielfachheiten aller Nullstellen ergeben zusammen höchstens den Grad. Sie bestimmen das Bild an der Achse: Bei Vielfachheit 1 schneidet der Graph die x-Achse, bei Vielfachheit 2 (gerade) berührt er sie nur und kehrt um, bei Vielfachheit 3 schneidet er sie waagerecht (Sattel). Nur bei ungerader Vielfachheit wechselt das Vorzeichen. Ein Beispiel: hat bei 0 die Vielfachheit 2 und bei 3 die Vielfachheit 1, zusammen 3, den Grad.

Stelle m ein. Wie ändert sich das Bild bei x = 1, und was bleibt bei x = −2 gleich?

Ermöglicht (2)

Den Graphen skizzieren
Klasse 10
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Vom Graphen zum Term
Klasse 10
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Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Nullstellen hat f(x) = x³ − 9x?

  • ● −3, 0 und 3
  • ○ −3 und 3
  • ○ 0 und 9
Ausklammern: x³ − 9x = x(x² − 9) = x(x − 3)(x + 3). Die Faktoren werden null bei x = 0, x = 3 und x = −3. Wer durch x teilt, verliert x = 0; wer x² = 9x ansetzt, kommt auf 0 und 9.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Welche Gleichung entsteht aus x³ − 16x = 0 durch Ausklammern?

  • ● x(x² − 16) = 0
  • ○ x²(x − 16) = 0
  • ○ x(x − 16) = 0
Es gilt x(x² − 16) = x³ − 16x. Bei x²(x − 16) wäre der zweite Summand −16x², bei x(x − 16) fehlt der Grad 3.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Welche Nullstellen hat f(x) = (x + 4)(x − 7)?

  • ● −4 und 7
  • ○ 4 und −7
  • ○ −4 und −7
Ein Faktor (x − x₀) ist bei x₀ null. x + 4 = 0 gibt x = −4, x − 7 = 0 gibt x = 7. Die Vorzeichen der Zahlen in den Klammern sind gerade umgekehrt zu den Nullstellen.
Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Welcher Term gehört zum abgebildeten Graphen?

  • ● f(x) = ½(x + 2)(x − 4)
  • ○ f(x) = ½(x − 2)(x + 4)
  • ○ f(x) = ½(x + 2)(x + 4)
Der Graph schneidet die x-Achse bei −2 und bei 4. Zur Nullstelle −2 gehört der Faktor (x − (−2)) = (x + 2), zur Nullstelle 4 der Faktor (x − 4). Bei ½(x − 2)(x + 4) wären die Nullstellen 2 und −4.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Welche Vielfachheit hat die Nullstelle x = 3 von f(x) = (x − 3)⁴(x + 2)?

  • ● 4
  • ○ 1
  • ○ 5
Die Vielfachheit ist der Exponent des Linearfaktors (x − 3): Er ist 4. Die 1 zählt nur, dass x = 3 einmal als Stelle vorkommt, die 5 ist der Grad.
Wahr / Falsch #6 25s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = (x − 2)²(x + 5)/10 hat drei verschiedene Nullstellen. Ihr Graph ist abgebildet.

✓ Falsch
Es gibt nur die Nullstellen 2 (doppelt, Berührpunkt) und −5. Zusammen mit Vielfachheit gezählt sind es drei, verschieden aber nur zwei.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Wie verhält sich der Graph von f(x) = (x − 2)²(x + 3) bei der Nullstelle x = 2?

  • ● er berührt die x-Achse und kehrt um
  • ○ er schneidet die x-Achse
  • ○ er läuft waagerecht durch die x-Achse
Der Faktor (x − 2) hat den Exponenten 2, gerade: Das Quadrat ist nie negativ, der Graph berührt die x-Achse in x = 2 und wechselt nicht das Vorzeichen.
Multiple Choice #8 30s ▶ Testen

Welche Vielfachheit hat die Nullstelle bei x = −1 im abgebildeten Graphen?

  • ● 2
  • ○ 1
  • ○ 3
Bei x = −1 berührt der Graph die x-Achse nur und kehrt um: gerade Vielfachheit, hier 2. Vielfachheit 1 würde die Achse schneiden, Vielfachheit 3 waagerecht durchsetzen.
Multiple Choice #9 30s ▶ Testen

Welche Vielfachheit hat die Nullstelle bei x = −1 im abgebildeten Graphen?

  • ● 3
  • ○ 1
  • ○ 2
Bei x = −1 setzt der Graph die x-Achse durch, aber waagerecht (mit flacher Tangente): ungerade Vielfachheit größer als 1, hier 3. Vielfachheit 1 wäre ein steiles Schneiden, Vielfachheit 2 ein Berühren.
Mittel
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Wie viele verschiedene Nullstellen hat f(x) = x⁴ − 16x²?

✓ Antwort: 3
x⁴ − 16x² = x²(x² − 16) = x²(x − 4)(x + 4). Die Nullstellen sind 0, 4 und −4: drei verschiedene (die 0 zählt doppelt, aber nur einmal als Stelle).
Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

Eine Funktion enthält den Linearfaktor (x + 7). Bei welchem x liegt diese Nullstelle?

✓ Antwort: -7
x + 7 = 0 gibt x = −7.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Wie groß ist die Summe der Vielfachheiten aller Nullstellen von f(x) = (x − 1)²(x + 2)³?

✓ Antwort: 5
Die Nullstelle 1 hat die Vielfachheit 2, die Nullstelle −2 die Vielfachheit 3: 2 + 3 = 5 (das ist zugleich der Grad).
Lückentext #4 20s ▶ Testen

Für f(x) = x⁴(x − 2) gilt: An der Nullstelle x = 0 ___ der Graph die x-Achse (berührt oder schneidet).

✓ Antwort: berührt
Der Faktor x⁴ hat den geraden Exponenten 4 und wechselt das Vorzeichen nicht: Der Graph berührt die x-Achse in x = 0 und läuft auf derselben Seite weiter.
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Bestimme die größte Nullstelle von f(x) = 2x³ − 8x².

✓ Antwort: 4
2x³ − 8x² = 2x²(x − 4). Die Faktoren sind null bei x = 0 und x = 4. Die größte Nullstelle ist 4.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne die Summe aller Nullstellen von f(x) = (x − 2)(x + 1)(x − 6).

✓ Antwort: 7
Die Nullstellen sind 2, −1 und 6. Ihre Summe ist 2 − 1 + 6 = 7.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Eine Funktion vom Grad 5 hat die Nullstelle 2 mit Vielfachheit 3 und die Nullstelle −1 mit Vielfachheit 1. Wie viel Vielfachheit bleibt höchstens noch für weitere Nullstellen?

✓ Antwort: 1
Die Vielfachheiten dürfen zusammen höchstens den Grad ergeben: 5 − (3 + 1) = 1.
Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

An wie vielen Nullstellen von f(x) = (x − 1)(x + 2)²(x − 3)³ schneidet der Graph die x-Achse (statt sie nur zu berühren)?

✓ Antwort: 2
Ungerade Vielfachheit schneidet: x = 1 (Vielfachheit 1) und x = 3 (Vielfachheit 3). Bei x = −2 (Vielfachheit 2) berührt der Graph nur.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Bestimme alle Nullstellen von f(x) = x⁵ − 6x⁴ + 9x³ mit ihrer Vielfachheit. Beschreibe, wie sich der Graph an jeder Nullstelle verhält, und prüfe die Summe der Vielfachheiten am Grad. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Ausklammern: x⁵ − 6x⁴ + 9x³ = x³(x² − 6x + 9) = x³(x − 3)². Nullstellen: x = 0 mit Vielfachheit 3 (ungerade: der Graph setzt die x-Achse waagerecht durch, Sattel) und x = 3 mit Vielfachheit 2 (gerade: der Graph berührt die x-Achse). Summe der Vielfachheiten: 3 + 2 = 5 = Grad.
x³ ausklammern: x³(x² − 6x + 9) = x³(x − 3)². Bei 0 Vielfachheit 3 (Sattel), bei 3 Vielfachheit 2 (Berührpunkt). 3 + 2 = 5 ist der Grad.