Summen von Potenzfunktionen
Welche Funktion ist ganzrational?
Erklärung: Ganzrational heißt: nur Potenzen xⁿ mit n = 0, 1, 2, … . In 3x⁴ − x + 2 sind die Exponenten 4, 1 und 0. Bei 3ˣ steht die Variable im Exponenten, bei 3x⁻¹ = 3/x ist der Exponent negativ.
Die Funktion f(x) = (x − 2)(x + 5) ist ganzrational.
Erklärung: Ausmultipliziert ist f(x) = x² + 3x − 10, eine Summe von Potenzen mit den Exponenten 2, 1 und 0.
f(x) = 4x⁶ − 2x + 1. Der Summand 1 ist als Potenz geschrieben 1·x^___ .
Erklärung: Es ist x⁰ = 1, also 1 = 1·x⁰. Das Absolutglied ist eine Potenz mit dem Exponenten 0.
Von den Funktionen f₁(x) = x² + 1, f₂(x) = √x + 1, f₃(x) = 3/x + x und f₄(x) = 5x³ sind wie viele ganzrational?
Erklärung: f₁ und f₄ sind ganzrational. f₂ enthält √x = x^(1/2), f₃ enthält 3/x = 3x⁻¹: In beiden ist der Exponent keine Zahl 0, 1, 2, … .
Welchen Grad hat f(x) = 3x − 2x⁶ + 9x²?
Erklärung: Der Grad ist der höchste vorkommende Exponent, egal an welcher Stelle der Summand steht: x⁶ gibt Grad 6. Die 1 ist der Exponent des ersten Summanden, die 9 der größte Koeffizient.
Die Funktion f(x) = 1000x² + x³ hat den Grad 2.
Erklärung: Nicht der Koeffizient 1000 entscheidet, sondern der höchste Exponent: x³ gibt Grad 3.
Welchen Grad hat f(x) = x − 4x⁷ + 2x²?
Erklärung: Der höchste Exponent ist 7 (im Summanden −4x⁷). Die Reihenfolge der Summanden spielt keine Rolle.
Welchen Grad hat f(x) = (a − 2)x⁴ + 3x³ − x für a = 2?
Erklärung: Für a = 2 ist (a − 2)x⁴ = 0·x⁴ = 0: Der x⁴-Summand fällt weg. Übrig bleibt 3x³ − x mit Grad 3.
Wie lautet der Leitkoeffizient von f(x) = 2x − 7x³ + 4x²?
Erklärung: Der Leitkoeffizient gehört zur höchsten Potenz x³, also ist er −7. Die 2 steht nur zuerst, die 4 zuletzt geschrieben.
Welcher Koeffizient steht bei x³ in f(x) = x⁵ − 4x² + 7?
Erklärung: Der Summand mit x³ fehlt, also ist der Koeffizient 0: f(x) = x⁵ + 0·x³ − 4x² + 7. Die −4 gehört zu x², die 7 ist das Absolutglied.
Wie groß ist der Leitkoeffizient von f(x) = 4x − x³ + 6?
Erklärung: Die höchste Potenz ist −x³ = −1·x³, der Leitkoeffizient ist also −1.
Der Leitkoeffizient von f(x) = (k + 1)x³ − x² soll 5 sein. Bestimme k.
Erklärung: Der Leitkoeffizient ist der Faktor von x³: k + 1 = 5, also k = 4.
In welchem Punkt schneidet der Graph von f(x) = x³ − 4x² + 6 die y-Achse?
Erklärung: Auf der y-Achse ist x = 0, also f(0) = 0 − 0 + 6 = 6: der Punkt (0 | 6). (6 | 0) vertauscht die Koordinaten, (0 | 0) wäre der Ursprung.
Welche Funktion gehört zum abgebildeten Graphen?
Erklärung: Der Graph schneidet die y-Achse bei y = 3, also ist das Absolutglied 3. Bei −3 läge der Schnittpunkt unter der x-Achse, bei x³ − 3x + 2 wäre f(0) = 2.
Welchen y-Wert hat der Graph von f(x) = −x⁵ + 3x² − 9 an der Stelle x = 0?
Erklärung: f(0) = 0 + 0 − 9 = −9. Nur das Absolutglied bleibt übrig.
Ein Behälter wird gefüllt: V(t) = 0,5t³ − 2t² + 30 gibt das Volumen in Litern nach t Minuten an. Wie viele Liter sind zu Beginn (t = 0) im Behälter?
Erklärung: Zu Beginn ist t = 0: V(0) = 30. Das Absolutglied ist der Anfangswert.
Gegeben ist f(x) = (k − 3)x⁴ + 2x³ − 5x + 1 mit einer Zahl k. Bestimme k so, dass f den Grad 3 hat. Gib für diesen Fall den Leitkoeffizienten und das Absolutglied an und begründe jeweils.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Damit der Grad 3 wird, muss der Faktor vor x⁴ null sein: k = 3. Dann bleibt 2x³ − 5x + 1: Leitkoeffizient 2, Absolutglied 1.