Summen von Potenzfunktionen

Sums of power functions

Mathematik Klasse 10 17 Aufgaben
FunktionenPolynomKomparation

Eine ganzrationale Funktion ist eine Summe von Vielfachen der Potenzfunktionen xⁿ mit n = 0, 1, 2, …: Aus Grad, Leitkoeffizient und Absolutglied liest man den Bau des Terms und den Schnitt mit der y-Achse ab. Der Abschnitt räumt aus, dass der größte Koeffizient oder der erste Summand den Grad bestimmt und dass 2ˣ oder √x „auch Potenzen“ sind. Er bereitet das Randverhalten vor und später die Ableitung Term für Term.

Summe von Potenzen

Streckt man die Potenzfunktionen mit mit je einer Zahl und addiert sie, entsteht eine ganzrationale Funktion:

Die Zahlen heißen Koeffizienten. Ganzrational sind zum Beispiel und . Nicht ganzrational sind , und : Dort ist der Exponent keine Zahl 0, 1, 2, …, oder er enthält x. Der Summand ohne x, das Absolutglied, ist der Funktionswert : Dort schneidet der Graph die y-Achse. Die Bausteine im Bild zeigen ihre Rollen: a·x³ krümmt die Kurve, b·x neigt sie, und die Konstante verschiebt sie nur nach oben oder unten.

Verändere a, b und c. Welcher Baustein bestimmt, wo der Graph die y-Achse schneidet?

Grad und Koeffizienten

Der Grad ist der höchste Exponent, der wirklich vorkommt, gleich in welcher Reihenfolge die Summanden stehen: hat den Grad 5. Der Koeffizient dieses Summanden heißt Leitkoeffizient, hier , denn . Kommt eine Potenz nicht vor, ist ihr Koeffizient 0: In steht bei die 0. Wird der Koeffizient der höchsten Potenz null, fällt der Summand weg, und der Grad sinkt. Grad 1 heißt linear, Grad 2 quadratisch, Grad 3 kubisch; eine konstante Funktion wie hat den Grad 0.

Setze a auf 0. Welchen Grad hat f jetzt, und welcher Punkt bleibt für jedes a am Platz?

Ermöglicht (1)

Randverhalten und führender Term
Klasse 10
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Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Funktion ist ganzrational?

  • ● f(x) = 3x⁴ − x + 2
  • ○ f(x) = 3ˣ − x + 2
  • ○ f(x) = 3x⁻¹ − x + 2
Ganzrational heißt: nur Potenzen xⁿ mit n = 0, 1, 2, … . In 3x⁴ − x + 2 sind die Exponenten 4, 1 und 0. Bei 3ˣ steht die Variable im Exponenten, bei 3x⁻¹ = 3/x ist der Exponent negativ.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = (x − 2)(x + 5) ist ganzrational.

✓ Wahr
Ausmultipliziert ist f(x) = x² + 3x − 10, eine Summe von Potenzen mit den Exponenten 2, 1 und 0.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Welchen Grad hat f(x) = 3x − 2x⁶ + 9x²?

  • ● 6
  • ○ 1
  • ○ 9
Der Grad ist der höchste vorkommende Exponent, egal an welcher Stelle der Summand steht: x⁶ gibt Grad 6. Die 1 ist der Exponent des ersten Summanden, die 9 der größte Koeffizient.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = 1000x² + x³ hat den Grad 2.

✓ Falsch
Nicht der Koeffizient 1000 entscheidet, sondern der höchste Exponent: x³ gibt Grad 3.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Wie lautet der Leitkoeffizient von f(x) = 2x − 7x³ + 4x²?

  • ● −7
  • ○ 2
  • ○ 4
Der Leitkoeffizient gehört zur höchsten Potenz x³, also ist er −7. Die 2 steht nur zuerst, die 4 zuletzt geschrieben.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Welcher Koeffizient steht bei x³ in f(x) = x⁵ − 4x² + 7?

  • ● 0
  • ○ −4
  • ○ 7
Der Summand mit x³ fehlt, also ist der Koeffizient 0: f(x) = x⁵ + 0·x³ − 4x² + 7. Die −4 gehört zu x², die 7 ist das Absolutglied.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

In welchem Punkt schneidet der Graph von f(x) = x³ − 4x² + 6 die y-Achse?

  • ● (0 | 6)
  • ○ (6 | 0)
  • ○ (0 | 0)
Auf der y-Achse ist x = 0, also f(0) = 0 − 0 + 6 = 6: der Punkt (0 | 6). (6 | 0) vertauscht die Koordinaten, (0 | 0) wäre der Ursprung.
Multiple Choice #8 30s ▶ Testen

Welche Funktion gehört zum abgebildeten Graphen?

  • ● f(x) = x³ − 2x + 3
  • ○ f(x) = x³ − 2x − 3
  • ○ f(x) = x³ − 3x + 2
Der Graph schneidet die y-Achse bei y = 3, also ist das Absolutglied 3. Bei −3 läge der Schnittpunkt unter der x-Achse, bei x³ − 3x + 2 wäre f(0) = 2.
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

f(x) = 4x⁶ − 2x + 1. Der Summand 1 ist als Potenz geschrieben 1·x^___ .

✓ Antwort: 0
Es ist x⁰ = 1, also 1 = 1·x⁰. Das Absolutglied ist eine Potenz mit dem Exponenten 0.
Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

Welchen Grad hat f(x) = x − 4x⁷ + 2x²?

✓ Antwort: 7
Der höchste Exponent ist 7 (im Summanden −4x⁷). Die Reihenfolge der Summanden spielt keine Rolle.
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Wie groß ist der Leitkoeffizient von f(x) = 4x − x³ + 6?

✓ Antwort: -1
Die höchste Potenz ist −x³ = −1·x³, der Leitkoeffizient ist also −1.
Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Welchen y-Wert hat der Graph von f(x) = −x⁵ + 3x² − 9 an der Stelle x = 0?

✓ Antwort: -9
f(0) = 0 + 0 − 9 = −9. Nur das Absolutglied bleibt übrig.
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Von den Funktionen f₁(x) = x² + 1, f₂(x) = √x + 1, f₃(x) = 3/x + x und f₄(x) = 5x³ sind wie viele ganzrational?

✓ Antwort: 2
f₁ und f₄ sind ganzrational. f₂ enthält √x = x^(1/2), f₃ enthält 3/x = 3x⁻¹: In beiden ist der Exponent keine Zahl 0, 1, 2, … .
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Welchen Grad hat f(x) = (a − 2)x⁴ + 3x³ − x für a = 2?

✓ Antwort: 3
Für a = 2 ist (a − 2)x⁴ = 0·x⁴ = 0: Der x⁴-Summand fällt weg. Übrig bleibt 3x³ − x mit Grad 3.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Der Leitkoeffizient von f(x) = (k + 1)x³ − x² soll 5 sein. Bestimme k.

✓ Antwort: 4
Der Leitkoeffizient ist der Faktor von x³: k + 1 = 5, also k = 4.
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Ein Behälter wird gefüllt: V(t) = 0,5t³ − 2t² + 30 gibt das Volumen in Litern nach t Minuten an. Wie viele Liter sind zu Beginn (t = 0) im Behälter?

✓ Antwort: 30
Zu Beginn ist t = 0: V(0) = 30. Das Absolutglied ist der Anfangswert.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Gegeben ist f(x) = (k − 3)x⁴ + 2x³ − 5x + 1 mit einer Zahl k. Bestimme k so, dass f den Grad 3 hat. Gib für diesen Fall den Leitkoeffizienten und das Absolutglied an und begründe jeweils. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Der Summand (k − 3)x⁴ muss wegfallen: k − 3 = 0, also k = 3. Dann ist f(x) = 2x³ − 5x + 1 mit Grad 3. Der Leitkoeffizient ist 2 (Koeffizient von x³), das Absolutglied 1 (= f(0)).
Damit der Grad 3 wird, muss der Faktor vor x⁴ null sein: k = 3. Dann bleibt 2x³ − 5x + 1: Leitkoeffizient 2, Absolutglied 1.