Symmetrie an den Exponenten
Welche Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse?
Erklärung: In 2x⁶ − x² + 4 sind alle Exponenten gerade (6, 2 und 0 beim Absolutglied). In 2x⁶ − x² + x stört der ungerade Exponent 1, in 2x⁵ − x² + 4 der Exponent 5.
Welche Funktion gehört zum abgebildeten Graphen?
Erklärung: Der Graph ist spiegelbildlich zur y-Achse: Es kommen nur gerade Exponenten vor. Der Term x⁴ − 6x² + x hätte mit x einen ungeraden Exponenten (asymmetrisch), x³ − 6x² + 4 läuft links und rechts nicht gleich.
Die Funktion f(x) = x⁶ − 2x⁴ + 5 ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Ihr Graph ist abgebildet.
Erklärung: Die Exponenten sind 6, 4 und 0 (die 5 ist 5·x⁰): alle gerade. Also ist f(−x) = f(x), und der Graph liegt spiegelbildlich zur y-Achse.
Der Graph von f(x) = x⁴ − 5x² + 3 ist achsensymmetrisch zur y-Achse, weil alle Exponenten ___ sind (gerade oder ungerade).
Erklärung: Die Exponenten 4, 2 und 0 sind gerade. Dann ist f(−x) = f(x).
Die Funktion f(x) = x⁴ − 6x² + kx soll achsensymmetrisch zur y-Achse sein. Bestimme k.
Erklärung: Der Summand kx hat den ungeraden Exponenten 1 und muss verschwinden: k = 0.
Welche Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung?
Erklärung: x⁵ − 3x³ + 2x hat nur die ungeraden Exponenten 5, 3 und 1. Das Absolutglied +1 (Exponent 0, gerade) verschiebt den Graphen und zerstört die Punktsymmetrie, der Summand −3x² (Exponent 2) ebenso.
Welche Funktion gehört zum abgebildeten Graphen?
Erklärung: Der Graph geht durch den Ursprung und ist punktsymmetrisch dazu: nur ungerade Exponenten, also x³ − 6x. x³ − 6x + 2 wäre um 2 nach oben verschoben, x³ − 6x² hat den geraden Exponenten 2.
Die Funktion f(x) = x⁵ + 2 ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Ihr Graph ist abgebildet.
Erklärung: Die 2 ist 2·x⁰, ein Summand mit geradem Exponenten. Es ist f(−x) = −x⁵ + 2, aber −f(x) = −x⁵ − 2: Der Graph ist um 2 nach oben verschoben, der Symmetriepunkt liegt bei (0 | 2), nicht im Ursprung.
Nur ungerade Exponenten und kein Absolutglied: Der Graph von f(x) = x⁵ − 2x³ ist punktsymmetrisch zum ___ (Ursprung oder y-Achse).
Erklärung: Bei nur ungeraden Exponenten gilt f(−x) = −f(x). Das bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung, nicht Spiegelung an der y-Achse.
Der Graph einer zum Ursprung punktsymmetrischen Funktion f enthält den abgebildeten Punkt P. Wie groß ist f(−2)?
Erklärung: Der Punkt P hat die Koordinaten (2 | 5), also f(2) = 5. Punktsymmetrie zum Ursprung heißt f(−x) = −f(x): f(−2) = −f(2) = −5.
Wie lautet f(−x) für f(x) = x³ + 5x?
Erklärung: Einsetzen von −x: (−x)³ + 5·(−x) = −x³ − 5x. Es ist (−x)³ = −x³ (ungerader Exponent), nicht +x³, und 5·(−x) = −5x.
Für f(x) = x³ − x gilt f(−x) = −f(x). Der Graph ist abgebildet. Was folgt daraus?
Erklärung: f(−x) = −f(x) bedeutet: Zu jedem Punkt (x | y) gehört der Punkt (−x | −y). Das ist Punktsymmetrie zum Ursprung; Achsensymmetrie würde f(−x) = f(x) verlangen.
Für f(x) = x⁴ − 2x gilt f(−x) = f(x). Der Graph ist abgebildet.
Erklärung: f(−x) = (−x)⁴ − 2·(−x) = x⁴ + 2x. Das ist weder f(x) noch −f(x): Der Graph ist nicht symmetrisch, obwohl der Grad gerade ist.
Berechne f(−3) für f(x) = x⁴ − 5x².
Erklärung: f(−3) = (−3)⁴ − 5·(−3)² = 81 − 45 = 36. Wegen der geraden Exponenten ist das derselbe Wert wie f(3).
Berechne f(−2) + f(2) für f(x) = x³ − 5x.
Erklärung: f(2) = 8 − 10 = −2 und f(−2) = −8 + 10 = 2. Die Summe ist 0, denn f(−x) = −f(x): Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Untersuche f(x) = x⁵ − 4x³ + x und g(x) = x⁴ − 2x² + 3x auf Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung. Berechne jeweils f(−x) bzw. g(−x), vergleiche mit f(x) und −f(x) und begründe das Ergebnis zusätzlich an den Exponenten.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: f(−x) = −x⁵ + 4x³ − x = −f(x): punktsymmetrisch. g(−x) = x⁴ − 2x² − 3x ≠ ±g(x): keine Symmetrie, weil gerade und ungerade Exponenten gemischt sind.