Symmetrie an den Exponenten

Symmetry from the exponents

Mathematik Klasse 10 16 Aufgaben
FunktionenPolynomSymmetrie

Ob der Graph einer ganzrationalen Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist, liest man an den Exponenten ab und prüft es mit f(−x); das Absolutglied zählt als gerader Exponent 0. Der Abschnitt räumt aus, dass eine Konstante die Punktsymmetrie nicht stört, dass gerader Grad schon Achsensymmetrie bedeutet und dass (−x)² gleich −x² sei. Er bereitet die Skizze vor und später die Symmetrie beliebiger Funktionen und das Integrieren über symmetrische Bereiche.

Gerade und ungerade Exponenten

Die Potenzfunktion hat eine Symmetrie, die vom Exponenten abhängt. Ist n gerade, gilt : Der Graph liegt spiegelbildlich zur y-Achse, er ist achsensymmetrisch. Ist n ungerade, gilt : Eine Drehung um 180° um den Ursprung bildet den Graphen auf sich ab, er ist punktsymmetrisch. Für Summen heißt das: Nur gerade Exponenten ergeben Achsensymmetrie, nur ungerade Punktsymmetrie; ein Gemisch ergibt keine von beiden. So ist achsensymmetrisch und punktsymmetrisch.

Ändere n und x₀. Wann deckt der Punkt Q auf der Kurve den Punkt P′ (an der y-Achse gespiegelt), wann P″ (am Ursprung gespiegelt)?

f(−x) prüfen

Rechnerisch prüft man die Symmetrie mit . Kommt heraus, ist der Graph achsensymmetrisch; kommt heraus, punktsymmetrisch. Bei ist . Achtung beim Einsetzen: , aber . Der gestrichelte Graph im Bild gehört zu ; er fällt nur dann mit f zusammen, wenn f achsensymmetrisch ist.

Ziehe a. Für welches a liegen f und das gestrichelte Bild f(−x) aufeinander?

Absolutglied und Symmetrie

Das Absolutglied ist ein Summand mit dem geraden Exponenten 0, denn . Es stört deshalb die Punktsymmetrie: ist punktsymmetrisch zum Ursprung, nicht. Für die Achsensymmetrie ist die Konstante harmlos. Gerader Grad allein genügt nie: enthält mit x einen ungeraden Exponenten und hat weder die eine noch die andere Symmetrie.

Verändere c. Bei welchem c fällt das gestrichelte Spiegelbild auf den Graphen?
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse?

  • ● f(x) = 2x⁶ − x² + 4
  • ○ f(x) = 2x⁶ − x² + x
  • ○ f(x) = 2x⁵ − x² + 4
In 2x⁶ − x² + 4 sind alle Exponenten gerade (6, 2 und 0 beim Absolutglied). In 2x⁶ − x² + x stört der ungerade Exponent 1, in 2x⁵ − x² + 4 der Exponent 5.
Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Welche Funktion gehört zum abgebildeten Graphen?

  • ● f(x) = x⁴ − 6x² + 4
  • ○ f(x) = x⁴ − 6x² + x
  • ○ f(x) = x³ − 6x² + 4
Der Graph ist spiegelbildlich zur y-Achse: Es kommen nur gerade Exponenten vor. Der Term x⁴ − 6x² + x hätte mit x einen ungeraden Exponenten (asymmetrisch), x³ − 6x² + 4 läuft links und rechts nicht gleich.
Wahr / Falsch #3 20s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = x⁶ − 2x⁴ + 5 ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Ihr Graph ist abgebildet.

✓ Wahr
Die Exponenten sind 6, 4 und 0 (die 5 ist 5·x⁰): alle gerade. Also ist f(−x) = f(x), und der Graph liegt spiegelbildlich zur y-Achse.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Welche Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung?

  • ● f(x) = x⁵ − 3x³ + 2x
  • ○ f(x) = x⁵ − 3x³ + 2x + 1
  • ○ f(x) = x⁵ − 3x² + 2x
x⁵ − 3x³ + 2x hat nur die ungeraden Exponenten 5, 3 und 1. Das Absolutglied +1 (Exponent 0, gerade) verschiebt den Graphen und zerstört die Punktsymmetrie, der Summand −3x² (Exponent 2) ebenso.
Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Welche Funktion gehört zum abgebildeten Graphen?

  • ● f(x) = x³ − 6x
  • ○ f(x) = x³ − 6x + 2
  • ○ f(x) = x³ − 6x²
Der Graph geht durch den Ursprung und ist punktsymmetrisch dazu: nur ungerade Exponenten, also x³ − 6x. x³ − 6x + 2 wäre um 2 nach oben verschoben, x³ − 6x² hat den geraden Exponenten 2.
Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = x⁵ + 2 ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Ihr Graph ist abgebildet.

✓ Falsch
Die 2 ist 2·x⁰, ein Summand mit geradem Exponenten. Es ist f(−x) = −x⁵ + 2, aber −f(x) = −x⁵ − 2: Der Graph ist um 2 nach oben verschoben, der Symmetriepunkt liegt bei (0 | 2), nicht im Ursprung.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Wie lautet f(−x) für f(x) = x³ + 5x?

  • ● −x³ − 5x
  • ○ x³ + 5x
  • ○ −x³ + 5x
Einsetzen von −x: (−x)³ + 5·(−x) = −x³ − 5x. Es ist (−x)³ = −x³ (ungerader Exponent), nicht +x³, und 5·(−x) = −5x.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Für f(x) = x³ − x gilt f(−x) = −f(x). Der Graph ist abgebildet. Was folgt daraus?

  • ● punktsymmetrisch zum Ursprung
  • ○ achsensymmetrisch zur y-Achse
  • ○ weder noch
f(−x) = −f(x) bedeutet: Zu jedem Punkt (x | y) gehört der Punkt (−x | −y). Das ist Punktsymmetrie zum Ursprung; Achsensymmetrie würde f(−x) = f(x) verlangen.
Wahr / Falsch #9 20s ▶ Testen

Für f(x) = x⁴ − 2x gilt f(−x) = f(x). Der Graph ist abgebildet.

✓ Falsch
f(−x) = (−x)⁴ − 2·(−x) = x⁴ + 2x. Das ist weder f(x) noch −f(x): Der Graph ist nicht symmetrisch, obwohl der Grad gerade ist.
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x⁴ − 5x² + 3 ist achsensymmetrisch zur y-Achse, weil alle Exponenten ___ sind (gerade oder ungerade).

✓ Antwort: gerade
Die Exponenten 4, 2 und 0 sind gerade. Dann ist f(−x) = f(x).
Lückentext #2 20s ▶ Testen

Nur ungerade Exponenten und kein Absolutglied: Der Graph von f(x) = x⁵ − 2x³ ist punktsymmetrisch zum ___ (Ursprung oder y-Achse).

✓ Antwort: Ursprung
Bei nur ungeraden Exponenten gilt f(−x) = −f(x). Das bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung, nicht Spiegelung an der y-Achse.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Berechne f(−3) für f(x) = x⁴ − 5x².

✓ Antwort: 36
f(−3) = (−3)⁴ − 5·(−3)² = 81 − 45 = 36. Wegen der geraden Exponenten ist das derselbe Wert wie f(3).
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = x⁴ − 6x² + kx soll achsensymmetrisch zur y-Achse sein. Bestimme k.

✓ Antwort: 0
Der Summand kx hat den ungeraden Exponenten 1 und muss verschwinden: k = 0.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Der Graph einer zum Ursprung punktsymmetrischen Funktion f enthält den abgebildeten Punkt P. Wie groß ist f(−2)?

✓ Antwort: -5
Der Punkt P hat die Koordinaten (2 | 5), also f(2) = 5. Punktsymmetrie zum Ursprung heißt f(−x) = −f(x): f(−2) = −f(2) = −5.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Berechne f(−2) + f(2) für f(x) = x³ − 5x.

✓ Antwort: 0
f(2) = 8 − 10 = −2 und f(−2) = −8 + 10 = 2. Die Summe ist 0, denn f(−x) = −f(x): Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Untersuche f(x) = x⁵ − 4x³ + x und g(x) = x⁴ − 2x² + 3x auf Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung. Berechne jeweils f(−x) bzw. g(−x), vergleiche mit f(x) und −f(x) und begründe das Ergebnis zusätzlich an den Exponenten. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f(−x) = (−x)⁵ − 4(−x)³ + (−x) = −x⁵ + 4x³ − x = −f(x): f ist punktsymmetrisch zum Ursprung (nur ungerade Exponenten 5, 3, 1). g(−x) = x⁴ − 2x² − 3x: Das ist weder g(x) noch −g(x), also hat g keine der beiden Symmetrien; der Summand 3x (ungerader Exponent) neben den geraden Exponenten 4 und 2 verhindert die Achsensymmetrie.
f(−x) = −x⁵ + 4x³ − x = −f(x): punktsymmetrisch. g(−x) = x⁴ − 2x² − 3x ≠ ±g(x): keine Symmetrie, weil gerade und ungerade Exponenten gemischt sind.