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Erweiterter Potenzbegriff

17 Aufgaben · interaktiv

Welchen Wert hat 5⁰?

Erklärung: In der Reihe 5², 5¹, 5⁰ wird jeder Wert durch 5 geteilt: 25, 5, 1. Also ist 5⁰ = 1. Der Wert 0 käme von „nichts mal 5“, und 5 wäre die Antwort für 5¹.

Welche Zahl gehört in das leere Feld?

Erklärung: Jeder Schritt teilt durch 3: 27 : 3 = 9, 9 : 3 = 3, 3 : 3 = 1. Das leere Feld ist 3⁰ = 1. Bei 0 würde das Muster „durch 3“ abbrechen.

(−4)⁰ = 1.

Erklärung: Für jede Zahl a ≠ 0 gilt a⁰ = 1, auch für negatives a: (−4)⁰ = 1. Das Vorzeichen der Basis spielt beim Exponenten 0 keine Rolle, man darf nicht −1 daraus machen.

Berechne 2⁵ · 9⁰.

Erklärung: 9⁰ = 1, also 2⁵ · 9⁰ = 32 · 1 = 32.

Für welchen Exponenten n gilt 7ⁿ · 7³ = 7³?

Erklärung: Beim Multiplizieren addiert man die Exponenten: n + 3 = 3, also n = 0. Das passt zu 7⁰ = 1, denn 1 · 7³ = 7³.

Welcher Wert gehört zu 2⁻³?

Erklärung: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. −8 hieße, das Minus im Exponenten mache die Zahl negativ, und −6 wäre 2 · (−3), der Exponent als Faktor.

Welche Zahl gehört zu 10⁻²?

Erklärung: Jeder Schritt teilt durch 10: 0,1 : 10 = 0,01. Also ist 10⁻² = 0,01 = 1/100. −100 wäre ein negatives Ergebnis, und 0,001 wäre 10⁻³, also eine Null zu viel.

Die Zahl 3⁻² ist negativ.

Erklärung: 3⁻² = 1/3² = 1/9 ≈ 0,11 ist positiv. Das Minus im Exponenten bildet den Kehrwert, es macht die Zahl nicht negativ.

Schreibe 5⁻² als Dezimalzahl.

Erklärung: 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04.

Ein Blatt Papier ist 10⁻⁴ m dick. Wie viele Millimeter sind das?

Erklärung: 10⁻⁴ m = 1/10 000 m = 0,0001 m. Mit 1 m = 1000 mm ist das 0,0001 · 1000 mm = 0,1 mm.

Welcher Wert gehört zu 27^(1/3)?

Erklärung: Es muss (27^(1/3))³ = 27¹ = 27 gelten, also ist 27^(1/3) = ³√27 = 3. 9 wäre 27 : 3 (Exponent als Teiler), und 1/27 wäre 27⁻¹.

Welche Wurzel schreibt man als 5^(1/4)?

Erklärung: Der Nenner des Exponenten ist der Wurzelexponent: 5^(1/4) = ⁴√5. ⁵√4 vertauscht Basis und Index, und 1,25 wäre 5 : 4.

Welcher Wert gehört zu 2^(0,5) (der Punkt C auf dem Graphen)?

Erklärung: Es muss (2^(0,5))² = 2¹ = 2 gelten, also ist 2^(0,5) = √2 ≈ 1,41. 1,5 wäre der Mittelwert von 1 und 2 (geradlinig verbunden), aber die Kurve verläuft unterhalb der Verbindungsstrecke.

16^(1/4) = 4.

Erklärung: 16^(1/4) = ⁴√16 = 2, denn 2⁴ = 16. Die 4 wäre die Quadratwurzel √16, also 16^(1/2).

Berechne 32^(1/5).

Erklärung: 32^(1/5) = ⁵√32 = 2, denn 2⁵ = 32.

Ein Würfel hat das Volumen V = 512 cm³. Seine Kante ist V^(1/3). Berechne sie in cm.

Erklärung: V^(1/3) = ³√512 = 8, denn 8³ = 512. Die Kante ist 8 cm lang.

a) Setze die Reihe 3⁴ = 81, 3³ = 27, 3² = 9, 3¹ = 3 bis 3⁻² fort und begründe jeden neuen Wert durch das Muster. b) Begründe mit dem Potenzgesetz (a^m)^n = a^(m·n), dass 8^(1/3) = 2 gilt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Das Muster (÷ 3) erzwingt 3⁰ = 1, 3⁻¹ = 1/3 und 3⁻² = 1/9. Das Potenzgesetz (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ erzwingt für den Exponenten 1/3, dass 8^(1/3) die dritte Wurzel aus 8 ist.

Aufgabe 1 von 17