Erweiterter Potenzbegriff

Extended concept of power

Mathematik Klasse 9 17 Aufgaben

PotenzenExponentenWurzeln

a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ und a^(1/n) = ⁿ√a sind keine Willkür, sondern die einzigen Festlegungen, bei denen die Potenzgesetze weitergelten (Permanenzprinzip, Hefendehl-Hebeker und Prediger 2006): Die Reihe 2³, 2², 2¹ halbiert sich Schritt für Schritt, und aus (a^(1/n))ⁿ = a folgt die Wurzel. Der Abschnitt räumt aus, dass a⁰ = 0 oder a sei, dass ein negativer Exponent eine negative Zahl gebe und dass der Exponent 1/n ein Teilen bedeute. Er bereitet a^(m/n), die Potenzgesetze für rationale Exponenten und später die Exponentialfunktion vor.

Das Muster fortsetzen

Bei den Zweierpotenzen $2^{3} = 8$ , $2^{2} = 4$ , $2^{1} = 2$ wird jeder Wert halb so groß wie der vorige. Setzt man das Muster fort, folgen $2^{0} = 1$ , $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ und $2^{- 2} = \frac{1}{4}$ . Das ist keine Willkür: Nur so bleibt das Potenzgesetz $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ gültig. Aus $2^{0} \cdot 2^{3} = 2^{3}$ folgt $2^{0} = 1$ , und aus $2^{- 3} \cdot 2^{3} = 2^{0} = 1$ folgt $2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}}$ . Für $a \neq = 0$ gilt also a⁰ = 1 und a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ, er bildet den Kehrwert: $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ . Aus den Zehnerpotenzen der Größen kennst du das schon: $1 0^{- 3} m = 0, 001 m = 1 mm$ .

Jeder Schritt nach rechts halbiert den Wert. Setzt man das Muster fort, ergeben sich 2⁰ = 1, 2⁻¹ = ½ und 2⁻² = ¼.

Bruchexponenten

Was könnte $2^{1/2}$ bedeuten? Wieder soll ein Potenzgesetz gültig bleiben, diesmal $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ . Dann ist $(2^{1/2})^{2} = 2^{1/2 \cdot 2} = 2^{1} = 2$ . Also ist $2^{1/2}$ eine nichtnegative Zahl, deren Quadrat 2 ist, das heißt $2^{1/2} = 2$ . Ebenso muss $(a^{1/ n})^{n} = a$ gelten, also ist a^(1/n) = ⁿ√a für $a \geq 0$ . Beispiel: $2 7^{1/3} = 327 = 3$ . Der Exponent 1/n bedeutet nicht Teilen: $2 7^{1/3}$ ist nicht 27 : 3 = 9. Wurzelschreibweise und Potenzschreibweise sind also zwei Namen für dieselbe Zahl, und der Taschenrechner bestätigt es: $2^{0, 5} \approx 1, 414$ .

Verschiebe x₀ in Halbschritten. Was fällt an den beiden violetten Werten auf, und welchen Wert hat 2^0,5?

Voraussetzungen (1)

Die n-te Wurzel

Klasse 9

›

Ermöglicht (1)

Rationale Exponenten

Klasse 9

›

Leicht

Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Welchen Wert hat 5⁰?

● 1
○ 0
○ 5

In der Reihe 5², 5¹, 5⁰ wird jeder Wert durch 5 geteilt: 25, 5, 1. Also ist 5⁰ = 1. Der Wert 0 käme von „nichts mal 5“, und 5 wäre die Antwort für 5¹.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welche Zahl gehört in das leere Feld?

● 1
○ 0
○ 3

Jeder Schritt teilt durch 3: 27 : 3 = 9, 9 : 3 = 3, 3 : 3 = 1. Das leere Feld ist 3⁰ = 1. Bei 0 würde das Muster „durch 3“ abbrechen.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

(−4)⁰ = 1.

✓ Wahr

Für jede Zahl a ≠ 0 gilt a⁰ = 1, auch für negatives a: (−4)⁰ = 1. Das Vorzeichen der Basis spielt beim Exponenten 0 keine Rolle, man darf nicht −1 daraus machen.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welcher Wert gehört zu 2⁻³?

● 1/8
○ −8
○ −6

2⁻³ = 1/2³ = 1/8. −8 hieße, das Minus im Exponenten mache die Zahl negativ, und −6 wäre 2 · (−3), der Exponent als Faktor.

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Welche Zahl gehört zu 10⁻²?

● 0,01
○ −100
○ 0,001

Jeder Schritt teilt durch 10: 0,1 : 10 = 0,01. Also ist 10⁻² = 0,01 = 1/100. −100 wäre ein negatives Ergebnis, und 0,001 wäre 10⁻³, also eine Null zu viel.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die Zahl 3⁻² ist negativ.

✓ Falsch

3⁻² = 1/3² = 1/9 ≈ 0,11 ist positiv. Das Minus im Exponenten bildet den Kehrwert, es macht die Zahl nicht negativ.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Welcher Wert gehört zu 27^(1/3)?

● 3
○ 9
○ 1/27

Es muss (27^(1/3))³ = 27¹ = 27 gelten, also ist 27^(1/3) = ³√27 = 3. 9 wäre 27 : 3 (Exponent als Teiler), und 1/27 wäre 27⁻¹.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welche Wurzel schreibt man als 5^(1/4)?

● ⁴√5
○ ⁵√4
○ 1,25

Der Nenner des Exponenten ist der Wurzelexponent: 5^(1/4) = ⁴√5. ⁵√4 vertauscht Basis und Index, und 1,25 wäre 5 : 4.

Multiple Choice #9 30s ▶ Testen

Welcher Wert gehört zu 2^(0,5) (der Punkt C auf dem Graphen)?

● √2 ≈ 1,41
○ 1,5
○ 1

Es muss (2^(0,5))² = 2¹ = 2 gelten, also ist 2^(0,5) = √2 ≈ 1,41. 1,5 wäre der Mittelwert von 1 und 2 (geradlinig verbunden), aber die Kurve verläuft unterhalb der Verbindungsstrecke.

Wahr / Falsch #10 20s ▶ Testen

16^(1/4) = 4.

✓ Falsch

16^(1/4) = ⁴√16 = 2, denn 2⁴ = 16. Die 4 wäre die Quadratwurzel √16, also 16^(1/2).

Mittel

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Berechne 2⁵ · 9⁰.

✓ Antwort: 32

9⁰ = 1, also 2⁵ · 9⁰ = 32 · 1 = 32.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Schreibe 5⁻² als Dezimalzahl.

✓ Antwort: 0.04

5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04.

Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Berechne 32^(1/5).

✓ Antwort: 2

32^(1/5) = ⁵√32 = 2, denn 2⁵ = 32.

Schwer

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Für welchen Exponenten n gilt 7ⁿ · 7³ = 7³?

✓ Antwort: 0

Beim Multiplizieren addiert man die Exponenten: n + 3 = 3, also n = 0. Das passt zu 7⁰ = 1, denn 1 · 7³ = 7³.

Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Ein Blatt Papier ist 10⁻⁴ m dick. Wie viele Millimeter sind das?

✓ Antwort: 0.1

10⁻⁴ m = 1/10 000 m = 0,0001 m. Mit 1 m = 1000 mm ist das 0,0001 · 1000 mm = 0,1 mm.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Würfel hat das Volumen V = 512 cm³. Seine Kante ist V^(1/3). Berechne sie in cm.

✓ Antwort: 8

V^(1/3) = ³√512 = 8, denn 8³ = 512. Die Kante ist 8 cm lang.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

a) Setze die Reihe 3⁴ = 81, 3³ = 27, 3² = 9, 3¹ = 3 bis 3⁻² fort und begründe jeden neuen Wert durch das Muster. b) Begründe mit dem Potenzgesetz (a^m)^n = a^(m·n), dass 8^(1/3) = 2 gilt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: a) Jeder Schritt teilt durch 3: 3⁰ = 3 : 3 = 1, 3⁻¹ = 1 : 3 = 1/3, 3⁻² = 1/3 : 3 = 1/9. b) Es muss (8^(1/3))³ = 8^(1/3 · 3) = 8¹ = 8 gelten. 8^(1/3) ist also die nichtnegative Zahl, deren dritte Potenz 8 ist: 8^(1/3) = ³√8 = 2, denn 2³ = 8.

Das Muster (÷ 3) erzwingt 3⁰ = 1, 3⁻¹ = 1/3 und 3⁻² = 1/9. Das Potenzgesetz (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ erzwingt für den Exponenten 1/3, dass 8^(1/3) die dritte Wurzel aus 8 ist.