Faktor a und Steilheit
Durch welchen Punkt geht der Graph von f(x) = 3x⁴?
Erklärung: f(1) = 3 · 1⁴ = 3 · 1 = 3. (1 | 81) wäre der Punkt von (3x)⁴ = 81x⁴, bei dem die 3 mitpotenziert wird, und (1 | 1) gehört zu x⁴ ohne den Faktor.
Der gestrichelte Graph gehört zu f(x) = x³. Welcher Term gehört zum durchgezogenen Graphen?
Erklärung: Bei x = 1 hat der durchgezogene Graph die Höhe 2, der gestrichelte die Höhe 1: Alle Höhen sind verdoppelt, also g(x) = 2x³. 0,5x³ läge flacher als x³, und x⁵ geht wie x³ bei x = 1 durch die Höhe 1.
Die Abbildung zeigt f(x) = 0,5x² (durchgezogen) und g(x) = x² (gestrichelt). Der Graph von f verläuft flacher als der von g.
Erklärung: Der Faktor 0,5 halbiert jede Höhe, zum Beispiel f(2) = 0,5 · 4 = 2 gegenüber g(2) = 4. Bei 0 < |a| < 1 wird der Graph gestaucht, er verläuft flacher.
Berechne f(2) für f(x) = 3x⁴.
Erklärung: f(2) = 3 · 2⁴ = 3 · 16 = 48. Erst potenzieren, dann mit 3 multiplizieren: Nicht (3 · 2)⁴.
Die Abbildung zeigt den rechten Teil des Graphen von f(x) = a · x³ mit dem Punkt P(2 | 12). Bestimme a.
Erklärung: Einsetzen: 12 = a · 2³ = 8a, also a = 12 : 8 = 1,5.
Durch welchen Punkt geht der Graph von f(x) = −2x⁴?
Erklärung: f(−1) = −2 · (−1)⁴ = −2 · 1 = −2. (−1 | 2) hieße, das Minus von a wirke auf x, und (1 | 2) ignoriert das Minus von a ganz.
Welcher Term gehört zum abgebildeten Graphen?
Erklärung: Der Graph fällt von links oben nach rechts unten und ist punktsymmetrisch zum Ursprung: ungerader Exponent mit negativem Faktor, also −x³. x³ würde ansteigen, −x² öffnete sich nach unten und wäre achsensymmetrisch.
Welcher Term gehört zum abgebildeten Graphen?
Erklärung: Der Graph liegt unterhalb der x-Achse und ist zur y-Achse symmetrisch, bei x = 1 hat er die Höhe −2. Das passt zu −2x². 2x² wäre nach oben geöffnet, −2x³ nicht achsensymmetrisch.
Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = −x⁵. Er ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Erklärung: Es gilt f(−x) = −(−x)⁵ = −(−x⁵) = x⁵ = −f(x). Das Minus von a ändert an der Symmetrie nichts: Bei ungeradem n bleibt sie punktsymmetrisch.
Berechne f(−2) für f(x) = −3x³.
Erklärung: f(−2) = −3 · (−2)³ = −3 · (−8) = 24. Zwei Minuszeichen: das von a und das von (−2)³.
Die Abbildung zeigt den rechten Teil des Graphen von f(x) = a · x⁴ mit dem Punkt P(2 | −48). Bestimme a.
Erklärung: Einsetzen: −48 = a · 2⁴ = 16a, also a = −48 : 16 = −3. Das negative Vorzeichen passt dazu, dass der Graph unter der Achse liegt.
Bei x = 0,5: Welcher Term hat den kleinsten Wert?
Erklärung: Zwischen 0 und 1 wird die Potenz mit wachsendem Exponenten kleiner: 0,5² = 0,25, 0,5³ = 0,125, 0,5⁴ = 0,0625. Wer denkt, ein größerer Exponent liefere einen größeren Wert, wählt x².
In welchen Punkten schneiden sich die abgebildeten Graphen von x³ und x⁴?
Erklärung: x³ = x⁴ gilt für x = 0 und x = 1. Bei x = −1 ist (−1)³ = −1, aber (−1)⁴ = 1: Dort schneiden sich die Graphen nicht, weil einer ungerade und der andere gerade ist. Bei x = 2 sind 8 und 16 verschieden.
Die Abbildung zeigt f(x) = x⁶ (durchgezogen) und g(x) = x² (gestrichelt). Zwischen x = 0 und x = 1 verläuft der Graph von f oberhalb des Graphen von g.
Erklärung: Zum Beispiel bei x = 0,5: f(0,5) = 0,5⁶ = 0,015625, aber g(0,5) = 0,25. Zwischen 0 und 1 liegt der Graph mit dem größeren Exponenten unterhalb.
Berechne f(0,5) für f(x) = x⁴.
Erklärung: f(0,5) = 0,5⁴ = 0,5 · 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,0625. Der Wert ist kleiner als 0,5² = 0,25.
Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = xⁿ mit dem Punkt P(0,5 | 0,015625). Bestimme n.
Erklärung: Es gilt 0,5ⁿ = 0,015625. Zwischen 0 und 1 wird die Potenz mit wachsendem n kleiner: 0,5⁴ = 0,0625, 0,5⁵ = 0,03125, 0,5⁶ = 0,015625. Also n = 6.
Gegeben sind f(x) = 0,5x³ und g(x) = −2x⁴. Lege für x = −2, −1, 0, 1, 2 eine Wertetabelle an, skizziere beide Graphen und beschreibe für
jeden Graphen die Symmetrie und ob er gestreckt oder gestaucht bzw. gespiegelt ist.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: f(x) = 0,5x³ bleibt punktsymmetrisch, weil n ungerade ist, und ist wegen 0 < a < 1 flacher als x³. g(x) = −2x⁴ bleibt achsensymmetrisch, weil n gerade ist, und liegt wegen a < 0 unterhalb der x-Achse.