Faktor a und Steilheit

The factor a and steepness

Mathematik Klasse 9 17 Aufgaben
PotenzenFunktionenGraphen

Im Term a·xⁿ streckt der Faktor a (|a| > 1) oder staucht (|a| < 1) den Graphen von xⁿ, der Punkt (1 | 1) wird zu (1 | a); ein negatives a spiegelt an der x-Achse, die Symmetrie bleibt erhalten. Größeres n macht den Graphen zwischen −1 und 1 flacher und außerhalb steiler, alle Graphen kreuzen sich in (0 | 0) und (1 | 1). Der Abschnitt räumt aus, dass ein größerer Exponent überall steiler bedeute und dass a·xⁿ dasselbe sei wie (a·x)ⁿ (Malle 1993). Er bereitet Potenzgleichungen a·xⁿ = c und die Verschiebungen und Streckungen von Funktionen vor.

Der Faktor a

In multipliziert der Faktor a jede Höhe von . Aus wird . Ist |a| &gt; 1, wird der Graph gestreckt und steiler, bei 0 &lt; |a| &lt; 1 gestaucht und flacher. Ein negatives a spiegelt den Graphen an der x-Achse: Bei geradem n öffnet er sich nach unten, bei ungeradem n läuft er von links oben nach rechts unten. Die Symmetrie bleibt, denn a multipliziert nur die Höhen. Vorsicht: ist etwas anderes als , zum Beispiel , aber .

Verändere a und n. Wo liegt der Punkt A, wenn a negativ ist, und wie verläuft der Graph dann bei geradem, wie bei ungeradem n?

Größeres n

Vergleiche x² und x⁴. Beide gehen durch und , dazwischen unterscheiden sie sich. Zwischen 0 und 1 ist die Potenz mit dem größeren Exponenten kleiner: , aber . Dort schmiegt sich der Graph enger an die x-Achse, er ist flacher. Rechts von 1 ist es umgekehrt: und , der Graph steigt steiler. Ein größerer Exponent macht den Graphen also nicht überall steiler, sondern zwischen −1 und 1 flacher und außerhalb steiler.

Verschiebe x₀ über 1 hinaus. Bei welchem x₀ tauschen die beiden Potenzen ihre Rangfolge?

Voraussetzungen (1)

Gerade und ungerade Exponenten
Klasse 9
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Durch welchen Punkt geht der Graph von f(x) = 3x⁴?

  • ● (1 | 3)
  • ○ (1 | 81)
  • ○ (1 | 1)
f(1) = 3 · 1⁴ = 3 · 1 = 3. (1 | 81) wäre der Punkt von (3x)⁴ = 81x⁴, bei dem die 3 mitpotenziert wird, und (1 | 1) gehört zu x⁴ ohne den Faktor.
Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Der gestrichelte Graph gehört zu f(x) = x³. Welcher Term gehört zum durchgezogenen Graphen?

  • ● g(x) = 2x³
  • ○ g(x) = 0,5x³
  • ○ g(x) = x⁵
Bei x = 1 hat der durchgezogene Graph die Höhe 2, der gestrichelte die Höhe 1: Alle Höhen sind verdoppelt, also g(x) = 2x³. 0,5x³ läge flacher als x³, und x⁵ geht wie x³ bei x = 1 durch die Höhe 1.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt f(x) = 0,5x² (durchgezogen) und g(x) = x² (gestrichelt). Der Graph von f verläuft flacher als der von g.

✓ Wahr
Der Faktor 0,5 halbiert jede Höhe, zum Beispiel f(2) = 0,5 · 4 = 2 gegenüber g(2) = 4. Bei 0 < |a| < 1 wird der Graph gestaucht, er verläuft flacher.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Durch welchen Punkt geht der Graph von f(x) = −2x⁴?

  • ● (−1 | −2)
  • ○ (−1 | 2)
  • ○ (1 | 2)
f(−1) = −2 · (−1)⁴ = −2 · 1 = −2. (−1 | 2) hieße, das Minus von a wirke auf x, und (1 | 2) ignoriert das Minus von a ganz.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Welcher Term gehört zum abgebildeten Graphen?

  • ● f(x) = −x³
  • ○ f(x) = x³
  • ○ f(x) = −x²
Der Graph fällt von links oben nach rechts unten und ist punktsymmetrisch zum Ursprung: ungerader Exponent mit negativem Faktor, also −x³. x³ würde ansteigen, −x² öffnete sich nach unten und wäre achsensymmetrisch.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Welcher Term gehört zum abgebildeten Graphen?

  • ● f(x) = −2x²
  • ○ f(x) = 2x²
  • ○ f(x) = −2x³
Der Graph liegt unterhalb der x-Achse und ist zur y-Achse symmetrisch, bei x = 1 hat er die Höhe −2. Das passt zu −2x². 2x² wäre nach oben geöffnet, −2x³ nicht achsensymmetrisch.
Wahr / Falsch #7 20s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = −x⁵. Er ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

✓ Wahr
Es gilt f(−x) = −(−x)⁵ = −(−x⁵) = x⁵ = −f(x). Das Minus von a ändert an der Symmetrie nichts: Bei ungeradem n bleibt sie punktsymmetrisch.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Bei x = 0,5: Welcher Term hat den kleinsten Wert?

  • ● x⁴
  • ○ x²
  • ○ x³
Zwischen 0 und 1 wird die Potenz mit wachsendem Exponenten kleiner: 0,5² = 0,25, 0,5³ = 0,125, 0,5⁴ = 0,0625. Wer denkt, ein größerer Exponent liefere einen größeren Wert, wählt x².
Multiple Choice #9 30s ▶ Testen

In welchen Punkten schneiden sich die abgebildeten Graphen von x³ und x⁴?

  • ● (0 | 0) und (1 | 1)
  • ○ (−1 | 1), (0 | 0) und (1 | 1)
  • ○ (0 | 0) und (2 | 8)
x³ = x⁴ gilt für x = 0 und x = 1. Bei x = −1 ist (−1)³ = −1, aber (−1)⁴ = 1: Dort schneiden sich die Graphen nicht, weil einer ungerade und der andere gerade ist. Bei x = 2 sind 8 und 16 verschieden.
Wahr / Falsch #10 20s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt f(x) = x⁶ (durchgezogen) und g(x) = x² (gestrichelt). Zwischen x = 0 und x = 1 verläuft der Graph von f oberhalb des Graphen von g.

✓ Falsch
Zum Beispiel bei x = 0,5: f(0,5) = 0,5⁶ = 0,015625, aber g(0,5) = 0,25. Zwischen 0 und 1 liegt der Graph mit dem größeren Exponenten unterhalb.
Mittel
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Berechne f(2) für f(x) = 3x⁴.

✓ Antwort: 48
f(2) = 3 · 2⁴ = 3 · 16 = 48. Erst potenzieren, dann mit 3 multiplizieren: Nicht (3 · 2)⁴.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Berechne f(−2) für f(x) = −3x³.

✓ Antwort: 24
f(−2) = −3 · (−2)³ = −3 · (−8) = 24. Zwei Minuszeichen: das von a und das von (−2)³.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Berechne f(0,5) für f(x) = x⁴.

✓ Antwort: 0.0625
f(0,5) = 0,5⁴ = 0,5 · 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,0625. Der Wert ist kleiner als 0,5² = 0,25.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den rechten Teil des Graphen von f(x) = a · x³ mit dem Punkt P(2 | 12). Bestimme a.

✓ Antwort: 1.5
Einsetzen: 12 = a · 2³ = 8a, also a = 12 : 8 = 1,5.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den rechten Teil des Graphen von f(x) = a · x⁴ mit dem Punkt P(2 | −48). Bestimme a.

✓ Antwort: -3
Einsetzen: −48 = a · 2⁴ = 16a, also a = −48 : 16 = −3. Das negative Vorzeichen passt dazu, dass der Graph unter der Achse liegt.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = xⁿ mit dem Punkt P(0,5 | 0,015625). Bestimme n.

✓ Antwort: 6
Es gilt 0,5ⁿ = 0,015625. Zwischen 0 und 1 wird die Potenz mit wachsendem n kleiner: 0,5⁴ = 0,0625, 0,5⁵ = 0,03125, 0,5⁶ = 0,015625. Also n = 6.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Gegeben sind f(x) = 0,5x³ und g(x) = −2x⁴. Lege für x = −2, −1, 0, 1, 2 eine Wertetabelle an, skizziere beide Graphen und beschreibe für jeden Graphen die Symmetrie und ob er gestreckt oder gestaucht bzw. gespiegelt ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f: f(−2) = 0,5 · (−8) = −4, f(−1) = −0,5, f(0) = 0, f(1) = 0,5, f(2) = 4. g: g(−2) = −2 · 16 = −32, g(−1) = −2, g(0) = 0, g(1) = −2, g(2) = −32. f ist punktsymmetrisch zum Ursprung (n = 3 ungerade) und gestaucht (a = 0,5). g ist achsensymmetrisch zur y-Achse (n = 4 gerade), wegen a = −2 an der x-Achse gespiegelt und mit 2 gestreckt, der Graph liegt ganz unterhalb der x-Achse.
f(x) = 0,5x³ bleibt punktsymmetrisch, weil n ungerade ist, und ist wegen 0 < a < 1 flacher als x³. g(x) = −2x⁴ bleibt achsensymmetrisch, weil n gerade ist, und liegt wegen a < 0 unterhalb der x-Achse.