Gerade und ungerade Exponenten
Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von f(x) = x⁴?
Erklärung: (−3)⁴ = (−3) · (−3) · (−3) · (−3) = 81: Vier Minusfaktoren ergeben ein Plus. −81 hieße, das Vorzeichen bliebe stehen, und −12 wäre 4 · (−3), also der Exponent als Faktor.
Welcher Term gehört zum abgebildeten Graphen?
Erklärung: Der Graph liegt links und rechts oberhalb der x-Achse und ist zur y-Achse symmetrisch. Das passt nur zu einem geraden Exponenten, also x⁶. x⁵ und x³ sind ungerade, ihre Graphen fallen links unter die x-Achse.
Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x⁸. Er verläuft bei x = −1,2 oberhalb der x-Achse.
Erklärung: f(−1,2) = (−1,2)⁸ = 1,2⁸ ≈ 4,3 > 0. Bei geradem Exponenten ist jede Potenz nichtnegativ, der Graph bleibt oberhalb der x-Achse, auch links von der y-Achse.
Die Abbildung zeigt nur den rechten Teil des Graphen von f(x) = xⁿ mit geradem n. Welcher Punkt liegt auf dem linken Teil?
Erklärung: Bei geradem n ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, der Gegenpunkt zu P(2 | 16) hat also dieselbe Höhe bei x = −2. (−2 | −16) wäre der Gegenpunkt bei Punktsymmetrie (ungerades n), und (2 | −16) läge unterhalb der x-Achse.
Berechne f(−2) für f(x) = x⁶.
Erklärung: f(−2) = (−2)⁶ = 2⁶ = 64, denn sechs Minusfaktoren ergeben ein Plus.
Der Graph von f(x) = xⁿ geht durch den Punkt (−2 | 256). Bestimme den Exponenten n.
Erklärung: Es muss (−2)ⁿ = 256 gelten. Wegen 2⁸ = 256 kommt n = 8 in Frage, und 8 ist gerade: (−2)⁸ = +256. Bei ungeradem n käme ein negativer Wert heraus.
Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von f(x) = x⁵?
Erklärung: (−2)⁵ = −32: Fünf Minusfaktoren ergeben ein Minus. +32 wäre die Antwort bei geradem Exponenten, und −10 wäre 5 · (−2), der Exponent als Faktor.
Welcher Term gehört zum abgebildeten Graphen?
Erklärung: Der Graph kommt von links unten und geht nach rechts oben, links ist er negativ. Das ist typisch für einen ungeraden Exponenten, hier x⁵. x⁴ und x² sind gerade, ihre Graphen liegen ganz oberhalb der x-Achse.
Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x⁹. Er verläuft im II. Quadranten.
Erklärung: Im II. Quadranten ist x negativ und y positiv. Für negatives x ist x⁹ aber negativ, denn neun Minusfaktoren ergeben ein Minus. Der Graph kommt von links unten und verläuft im III. Quadranten.
Die Abbildung zeigt den rechten Teil des Graphen von f(x) = x³ mit dem Punkt P(2 | 8). Dann liegt auch der Punkt (−2 | 8) auf dem Graphen.
Erklärung: Wegen (−2)³ = −8 liegt bei x = −2 der Punkt (−2 | −8) auf dem Graphen. Bei ungeradem Exponenten ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung, das Vorzeichen der Höhe dreht sich um.
Berechne f(−3) für f(x) = x³.
Erklärung: f(−3) = (−3)³ = (−3) · (−3) · (−3) = 9 · (−3) = −27.
Die Abbildung zeigt den rechten Teil des Graphen von f(x) = x³ mit dem Punkt P(1,5 | 3,375). Welche Höhe hat der Graph bei x = −1,5?
Erklärung: Bei ungeradem n ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Zu P(1,5 | 3,375) gehört der Gegenpunkt (−1,5 | −3,375). Zur Kontrolle: (−1,5)³ = −3,375.
Welcher Term hat den Wert −16?
Erklärung: Bei −2⁴ wird nur die 2 potenziert: −(2 · 2 · 2 · 2) = −16. Bei (−2)⁴ steht die Klammer unter dem Exponenten, vier Minusfaktoren ergeben +16, und auch (−4)² = +16.
Ordne die Terme nach ihrem Wert, vom kleinsten zum größten.
Erklärung: Die Werte sind −2⁴ = −16, (−2)³ = −8, 2⁰ = 1 und (−2)⁴ = 16. Die Klammer entscheidet: Bei −2⁴ bleibt das Minus außen stehen, bei (−2)⁴ wird es mitpotenziert.
(−1,5)⁷ ist eine negative Zahl.
Erklärung: Sieben Minusfaktoren ergeben ein Minus, also (−1,5)⁷ = −(1,5⁷) ≈ −17,1. Bei einer ungeraden Anzahl von Minusfaktoren ist das Produkt negativ.
Berechne (−3)³ − 3³.
Erklärung: (−3)³ = −27 und 3³ = 27, also (−3)³ − 3³ = −27 − 27 = −54. Der Minuend ist negativ, weil der Exponent ungerade ist.
Berechne f(−2) für f(x) = −x⁴ + x³.
Erklärung: f(−2) = −(−2)⁴ + (−2)³ = −16 + (−8) = −24. Der Term −x⁴ bedeutet −(x⁴): erst potenzieren, dann das Minus anwenden.
Vergleiche die Graphen von f(x) = x⁴ und g(x) = x⁵. Lege eine Wertetabelle für x = −2, −1, 0, 1, 2 an, skizziere beide Graphen in ein
gemeinsames Koordinatensystem und beschreibe Symmetrie und Wertebereich beider Funktionen.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Gerade Exponenten: (−x)⁴ = x⁴, der Graph ist achsensymmetrisch und nie negativ. Ungerade Exponenten: (−x)⁵ = −x⁵, der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.