Gerade und ungerade Exponenten

Even and odd exponents

Mathematik Klasse 9 18 Aufgaben
PotenzenFunktionenSymmetrie

Der Graph von f(x) = xⁿ mit natürlichem n geht immer durch (0 | 0) und (1 | 1); ob n gerade oder ungerade ist, entscheidet über Verlauf, Wertebereich und Symmetrie: gerades n gibt einen achsensymmetrischen Graphen oberhalb der x-Achse durch (−1 | 1), ungerades n einen punktsymmetrischen von links unten nach rechts oben durch (−1 | −1). Der Abschnitt räumt aus, dass (−2)⁴ und −2⁴ dasselbe seien und dass sich die Symmetrie mit n vertauscht (Leinhardt, Zaslavsky und Stein 1990). Er bereitet den Faktor a, das Lösen von xⁿ = c und die Symmetrie ganzrationaler Funktionen vor.

Der Graph von xⁿ

Eine Potenzfunktion hat den Term mit einer natürlichen Zahl n als Exponenten. Jeder Graph geht durch und , denn und . Danach kommt es darauf an, ob n gerade oder ungerade ist. Bei geradem n (2, 4, 6, …) liegt der Graph nie unterhalb der x-Achse, weil jede gerade Potenz nichtnegativ ist, und er geht durch . Bei ungeradem n (1, 3, 5, …) läuft er von links unten nach rechts oben und geht durch . Achtung beim Rechnen: , aber . Die Klammer entscheidet, ob das Minuszeichen mitpotenziert wird.

Verändere n. Bei welchen Exponenten liegt der Punkt B oberhalb der x-Achse, bei welchen unterhalb?

Symmetrie

Vergleiche mit . Bei geradem n gilt : Der Punkt P(x | f(x)) und sein Gegenstück P′(−x | f(−x)) liegen gleich hoch, der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Bei ungeradem n gilt : P′ liegt genauso tief, wie P hoch liegt, und die Strecke PP′ geht durch den Ursprung. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Ob n gerade oder ungerade ist, legt also Wertebereich, Vorzeichen und Symmetrie fest. Ein Faktor vor xⁿ ändert an der Symmetrie nichts, wie der nächste Abschnitt zeigt.

Verändere n und x₀. Bei welchem n hat f(−x₀) dasselbe Vorzeichen wie f(x₀), bei welchem das entgegengesetzte?

Ermöglicht (2)

Faktor a und Steilheit
Klasse 9
›
Potenzgleichungen xⁿ = c
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von f(x) = x⁴?

  • ● (−3 | 81)
  • ○ (−3 | −81)
  • ○ (−3 | −12)
(−3)⁴ = (−3) · (−3) · (−3) · (−3) = 81: Vier Minusfaktoren ergeben ein Plus. −81 hieße, das Vorzeichen bliebe stehen, und −12 wäre 4 · (−3), also der Exponent als Faktor.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Welcher Term gehört zum abgebildeten Graphen?

  • ● f(x) = x⁶
  • ○ f(x) = x⁵
  • ○ f(x) = x³
Der Graph liegt links und rechts oberhalb der x-Achse und ist zur y-Achse symmetrisch. Das passt nur zu einem geraden Exponenten, also x⁶. x⁵ und x³ sind ungerade, ihre Graphen fallen links unter die x-Achse.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x⁸. Er verläuft bei x = −1,2 oberhalb der x-Achse.

✓ Wahr
f(−1,2) = (−1,2)⁸ = 1,2⁸ ≈ 4,3 > 0. Bei geradem Exponenten ist jede Potenz nichtnegativ, der Graph bleibt oberhalb der x-Achse, auch links von der y-Achse.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt nur den rechten Teil des Graphen von f(x) = xⁿ mit geradem n. Welcher Punkt liegt auf dem linken Teil?

  • ● (−2 | 16)
  • ○ (−2 | −16)
  • ○ (2 | −16)
Bei geradem n ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, der Gegenpunkt zu P(2 | 16) hat also dieselbe Höhe bei x = −2. (−2 | −16) wäre der Gegenpunkt bei Punktsymmetrie (ungerades n), und (2 | −16) läge unterhalb der x-Achse.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von f(x) = x⁵?

  • ● (−2 | −32)
  • ○ (−2 | 32)
  • ○ (−2 | −10)
(−2)⁵ = −32: Fünf Minusfaktoren ergeben ein Minus. +32 wäre die Antwort bei geradem Exponenten, und −10 wäre 5 · (−2), der Exponent als Faktor.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Welcher Term gehört zum abgebildeten Graphen?

  • ● f(x) = x⁵
  • ○ f(x) = x⁴
  • ○ f(x) = x²
Der Graph kommt von links unten und geht nach rechts oben, links ist er negativ. Das ist typisch für einen ungeraden Exponenten, hier x⁵. x⁴ und x² sind gerade, ihre Graphen liegen ganz oberhalb der x-Achse.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x⁹. Er verläuft im II. Quadranten.

✓ Falsch
Im II. Quadranten ist x negativ und y positiv. Für negatives x ist x⁹ aber negativ, denn neun Minusfaktoren ergeben ein Minus. Der Graph kommt von links unten und verläuft im III. Quadranten.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den rechten Teil des Graphen von f(x) = x³ mit dem Punkt P(2 | 8). Dann liegt auch der Punkt (−2 | 8) auf dem Graphen.

✓ Falsch
Wegen (−2)³ = −8 liegt bei x = −2 der Punkt (−2 | −8) auf dem Graphen. Bei ungeradem Exponenten ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung, das Vorzeichen der Höhe dreht sich um.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Welcher Term hat den Wert −16?

  • ● −2⁴
  • ○ (−2)⁴
  • ○ (−4)²
Bei −2⁴ wird nur die 2 potenziert: −(2 · 2 · 2 · 2) = −16. Bei (−2)⁴ steht die Klammer unter dem Exponenten, vier Minusfaktoren ergeben +16, und auch (−4)² = +16.
Sortieren #10 40s ▶ Testen

Ordne die Terme nach ihrem Wert, vom kleinsten zum größten.

✓ Antwort: −2⁴,(−2)³,2⁰,(−2)⁴
Die Werte sind −2⁴ = −16, (−2)³ = −8, 2⁰ = 1 und (−2)⁴ = 16. Die Klammer entscheidet: Bei −2⁴ bleibt das Minus außen stehen, bei (−2)⁴ wird es mitpotenziert.
Wahr / Falsch #11 15s ▶ Testen

(−1,5)⁷ ist eine negative Zahl.

✓ Wahr
Sieben Minusfaktoren ergeben ein Minus, also (−1,5)⁷ = −(1,5⁷) ≈ −17,1. Bei einer ungeraden Anzahl von Minusfaktoren ist das Produkt negativ.
Mittel
Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Berechne f(−2) für f(x) = x⁶.

✓ Antwort: 64
f(−2) = (−2)⁶ = 2⁶ = 64, denn sechs Minusfaktoren ergeben ein Plus.
Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

Berechne f(−3) für f(x) = x³.

✓ Antwort: -27
f(−3) = (−3)³ = (−3) · (−3) · (−3) = 9 · (−3) = −27.
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Berechne (−3)³ − 3³.

✓ Antwort: -54
(−3)³ = −27 und 3³ = 27, also (−3)³ − 3³ = −27 − 27 = −54. Der Minuend ist negativ, weil der Exponent ungerade ist.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = xⁿ geht durch den Punkt (−2 | 256). Bestimme den Exponenten n.

✓ Antwort: 8
Es muss (−2)ⁿ = 256 gelten. Wegen 2⁸ = 256 kommt n = 8 in Frage, und 8 ist gerade: (−2)⁸ = +256. Bei ungeradem n käme ein negativer Wert heraus.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den rechten Teil des Graphen von f(x) = x³ mit dem Punkt P(1,5 | 3,375). Welche Höhe hat der Graph bei x = −1,5?

✓ Antwort: -3.375
Bei ungeradem n ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Zu P(1,5 | 3,375) gehört der Gegenpunkt (−1,5 | −3,375). Zur Kontrolle: (−1,5)³ = −3,375.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne f(−2) für f(x) = −x⁴ + x³.

✓ Antwort: -24
f(−2) = −(−2)⁴ + (−2)³ = −16 + (−8) = −24. Der Term −x⁴ bedeutet −(x⁴): erst potenzieren, dann das Minus anwenden.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Vergleiche die Graphen von f(x) = x⁴ und g(x) = x⁵. Lege eine Wertetabelle für x = −2, −1, 0, 1, 2 an, skizziere beide Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem und beschreibe Symmetrie und Wertebereich beider Funktionen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Wertetabelle: f(−2) = 16, f(−1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 16; g(−2) = −32, g(−1) = −1, g(0) = 0, g(1) = 1, g(2) = 32. f ist achsensymmetrisch zur y-Achse (f(−x) = f(x)), der Graph liegt oberhalb der x-Achse, Wertemenge y ≥ 0. g ist punktsymmetrisch zum Ursprung (g(−x) = −g(x)), der Graph läuft von links unten nach rechts oben, Wertemenge alle reellen Zahlen. Beide Graphen gehen durch (0 | 0) und (1 | 1).
Gerade Exponenten: (−x)⁴ = x⁴, der Graph ist achsensymmetrisch und nie negativ. Ungerade Exponenten: (−x)⁵ = −x⁵, der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.