Die n-te Wurzel
Welche Zahl ist âŽâ81?
ErklÀrung: Gesucht ist die nichtnegative Zahl, die mit 4 potenziert 81 ergibt: 3⎠= 3 · 3 · 3 · 3 = 81. 9 ist die Quadratwurzel von 81, und 20,25 wÀre 81 : 4, also die Wurzel als Division gelesen.
Ein WĂŒrfel hat das Volumen 125 cmÂł. Welche KantenlĂ€nge hat er?
ErklĂ€rung: Die Kante x löst xÂł = 125. Wegen 5Âł = 125 ist x = Âłâ125 = 5 cm. 25 cm wĂ€re 5ÂČ, und 41,7 cm wĂ€re 125 : 3.
â”â32 = 2.
ErklĂ€rung: Es gilt 2â” = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 und 2 â„ 0, also ist â”â32 = 2.
Berechne âŽâ625.
ErklĂ€rung: Gesucht ist b mit b⎠= 625. Wegen 5⎠= 25 · 25 = 625 ist âŽâ625 = 5.
Ein wĂŒrfelförmiger BehĂ€lter fasst 343 Liter (1 Liter = 1 dmÂł). Wie lang ist eine Kante in dm?
ErklĂ€rung: Die Kante x löst xÂł = 343 dmÂł. Wegen 7Âł = 343 ist x = Âłâ343 = 7 dm.
Welchen Wert hat (â”â7)â”?
ErklĂ€rung: Die Wurzel macht das Potenzieren rĂŒckgĂ€ngig: (â”â7)â” = 7. 35 wĂ€re 5 · 7 (Exponent als Faktor) und 1,4 wĂ€re 7 : 5.
Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = xÂł (fĂŒr x â„ 0), die Gerade y = x und den Punkt P(2 | 8). Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von g(x) = Âłâx?
ErklĂ€rung: Die Graphen von xÂł und Âłâx liegen spiegelbildlich zur Geraden y = x, die Koordinaten werden getauscht: Aus (2 | 8) wird (8 | 2). Probe: Âłâ8 = 2. (2 | 8) ist der Ausgangspunkt selbst, und (â8 | â2) lĂ€ge im III. Quadranten, wo die Wurzel nicht definiert ist.
âŽâ((â3)âŽ) = â3.
ErklĂ€rung: Zuerst (â3)⎠= 81, dann âŽâ81 = 3. Eine Wurzel ist nie negativ, deshalb gilt âżâ(aâż) = a nur fĂŒr a â„ 0.
Berechne â”â(3â”) + (â”â4)â”.
ErklĂ€rung: Jeder Summand fĂŒr sich: â”â(3â”) = 3 und (â”â4)â” = 4. Zusammen 3 + 4 = 7.
Ein Programm potenziert die Eingabe mit 5 und zieht aus dem Ergebnis sofort die fĂŒnfte Wurzel. Was gibt es fĂŒr die Eingabe 3,7 aus?
ErklĂ€rung: Die fĂŒnfte Wurzel macht das Potenzieren mit 5 rĂŒckgĂ€ngig: â”â(3,7â”) = 3,7 (fĂŒr positive Eingaben).
Die Abbildung zeigt den Graphen von y = x⎠und die Gerade y = 50. Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt âŽâ50?
ErklĂ€rung: Es gilt 2⎠= 16 < 50 < 81 = 3âŽ, also liegt âŽâ50 zwischen 2 und 3. Bei 3 und 4 mĂŒsste 3⎠= 81 kleiner als 50 sein, und 12 und 13 kommt von 50 : 4 = 12,5.
Welcher Punkt der Zahlengeraden gehört zu Âłâ20?
ErklĂ€rung: Es gilt 2Âł = 8 < 20 < 27 = 3Âł, also liegt Âłâ20 zwischen 2 und 3, bei A â 2,7. B â 6,7 wĂ€re 20 : 3, und C â 4,5 wĂ€re die Quadratwurzel â20.
Die Abbildung zeigt den Graphen von y = xÂł und die Gerade y = 100. Der Schnittpunkt, also Âłâ100, liegt zwischen x = 4 und x = 5.
ErklĂ€rung: Es gilt 4Âł = 64 < 100 < 125 = 5Âł, also liegt Âłâ100 zwischen 4 und 5.
Berechne â”â100 mit dem Taschenrechner, auf zwei Nachkommastellen gerundet.
ErklĂ€rung: Es gilt 2â” = 32 < 100 < 243 = 3â”, der Wert liegt zwischen 2 und 3. Der Taschenrechner liefert â”â100 â 2,512, gerundet 2,51.
Ein WĂŒrfel hat das Volumen 100 cmÂł. Berechne seine KantenlĂ€nge in cm auf 0,1 cm genau.
ErklĂ€rung: Die Kante löst xÂł = 100. Wegen 4Âł = 64 < 100 < 125 = 5Âł liegt x zwischen 4 und 5, der Taschenrechner liefert Âłâ100 â 4,64, also x â 4,6 cm.
Ein WĂŒrfel hat das Volumen 216 cmÂł, ein zweiter WĂŒrfel 100 cmÂł. Bestimme die KantenlĂ€nge des ersten WĂŒrfels und mache die Probe. BegrĂŒnde fĂŒr
den zweiten WĂŒrfel mit zwei dritten Potenzen, zwischen welchen ganzen Zahlen seine Kante liegt, und gib sie auf 0,1 cm genau an.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Das Volumen eines WĂŒrfels ist Kante hoch drei, die Kante ist also die dritte Wurzel des Volumens: Âłâ216 = 6 wegen 6Âł = 216, und Âłâ100 liegt zwischen 4 und 5.