Die n-te Wurzel

The n-th root

Mathematik Klasse 9 16 Aufgaben
WurzelnPotenzenFunktionen

Die n-te Wurzel ⁿ√a (a ≥ 0) ist die nichtnegative Zahl, deren n-te Potenz a ergibt: ³√27 = 3, denn 3³ = 27. Wurzel und Potenz machen einander rückgängig, ihre Graphen liegen spiegelbildlich zur Winkelhalbierenden, und nicht glatte Wurzeln schachtelt man zwischen zwei n-ten Potenzen ein. Der Abschnitt räumt aus, dass ⁿ√a dasselbe sei wie a : n, und dass die Wurzel die Quadratwurzel mit anderem Namen wäre (Büchter und Henn 2010). Er bereitet Potenzgleichungen xⁿ = c und die Deutung von a^(1/n) als Wurzel vor.

Kante aus dem Volumen

Ein Würfel hat das Volumen 27 cm³. Seine Kante x erfüllt , also ist , denn . Man schreibt , die dritte Wurzel aus 27. Allgemein ist für die n-te Wurzel die nichtnegative Zahl, deren n-te Potenz a ergibt. Beispiele: , denn , und . Die Zahl n heißt Wurzelexponent, a Radikand; für n = 2 ist es die bekannte Quadratwurzel. Achtung: ist nicht 27 : 3 = 9. Der Wurzelexponent sagt, wie oft die gesuchte Zahl als Faktor vorkommt, nicht, wodurch geteilt wird.

Würfel mit der Kante x und dem Volumen 27 cm³ x
Ein Würfel mit 27 cm³: Die Kante x löst x³ = 27, also x = 3.

Wurzel und Potenz heben sich auf

Die Wurzel macht das Potenzieren rückgängig. Für gilt und , zum Beispiel und . Im Koordinatensystem liegen die Graphen von y = xⁿ (für x ≥ 0) und y = ⁿ√x spiegelbildlich zur Geraden y = x: Zu gehört . Nicht jede Wurzel ist glatt. liegt zwischen 2 und 3, denn 2^4 = 16 < 50 < 81 = 3^4. Der Taschenrechner liefert .

Verändere n und x₀. Wie hängen die Koordinaten von P und R zusammen?

Ermöglicht (2)

Erweiterter Potenzbegriff
Klasse 9
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Potenzgleichungen xⁿ = c
Klasse 9
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Zahl ist ⁴√81?

  • ● 3
  • ○ 9
  • ○ 20,25
Gesucht ist die nichtnegative Zahl, die mit 4 potenziert 81 ergibt: 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. 9 ist die Quadratwurzel von 81, und 20,25 wäre 81 : 4, also die Wurzel als Division gelesen.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Ein Würfel hat das Volumen 125 cm³. Welche Kantenlänge hat er?

  • ● 5 cm
  • ○ 25 cm
  • ○ 41,7 cm
Die Kante x löst x³ = 125. Wegen 5³ = 125 ist x = ³√125 = 5 cm. 25 cm wäre 5², und 41,7 cm wäre 125 : 3.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

⁵√32 = 2.

✓ Wahr
Es gilt 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 und 2 ≥ 0, also ist ⁵√32 = 2.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welchen Wert hat (⁵√7)⁵?

  • ● 7
  • ○ 35
  • ○ 1,4
Die Wurzel macht das Potenzieren rückgängig: (⁵√7)⁵ = 7. 35 wäre 5 · 7 (Exponent als Faktor) und 1,4 wäre 7 : 5.
Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x³ (für x ≥ 0), die Gerade y = x und den Punkt P(2 | 8). Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von g(x) = ³√x?

  • ● (8 | 2)
  • ○ (2 | 8)
  • ○ (−8 | −2)
Die Graphen von x³ und ³√x liegen spiegelbildlich zur Geraden y = x, die Koordinaten werden getauscht: Aus (2 | 8) wird (8 | 2). Probe: ³√8 = 2. (2 | 8) ist der Ausgangspunkt selbst, und (−8 | −2) läge im III. Quadranten, wo die Wurzel nicht definiert ist.
Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

⁴√((−3)⁴) = −3.

✓ Falsch
Zuerst (−3)⁴ = 81, dann ⁴√81 = 3. Eine Wurzel ist nie negativ, deshalb gilt ⁿ√(aⁿ) = a nur für a ≥ 0.
Multiple Choice #7 30s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von y = x⁴ und die Gerade y = 50. Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt ⁴√50?

  • ● 2 und 3
  • ○ 3 und 4
  • ○ 12 und 13
Es gilt 2⁴ = 16 < 50 < 81 = 3⁴, also liegt ⁴√50 zwischen 2 und 3. Bei 3 und 4 müsste 3⁴ = 81 kleiner als 50 sein, und 12 und 13 kommt von 50 : 4 = 12,5.
Multiple Choice #8 30s ▶ Testen

Welcher Punkt der Zahlengeraden gehört zu ³√20?

  • ● A
  • ○ B
  • ○ C
Es gilt 2³ = 8 < 20 < 27 = 3³, also liegt ³√20 zwischen 2 und 3, bei A ≈ 2,7. B ≈ 6,7 wäre 20 : 3, und C ≈ 4,5 wäre die Quadratwurzel √20.
Wahr / Falsch #9 20s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von y = x³ und die Gerade y = 100. Der Schnittpunkt, also ³√100, liegt zwischen x = 4 und x = 5.

✓ Wahr
Es gilt 4³ = 64 < 100 < 125 = 5³, also liegt ³√100 zwischen 4 und 5.
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Berechne ⁴√625.

✓ Antwort: 5
Gesucht ist b mit b⁴ = 625. Wegen 5⁴ = 25 · 25 = 625 ist ⁴√625 = 5.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Berechne ⁵√(3⁵) + (⁵√4)⁵.

✓ Antwort: 7
Jeder Summand für sich: ⁵√(3⁵) = 3 und (⁵√4)⁵ = 4. Zusammen 3 + 4 = 7.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne ⁵√100 mit dem Taschenrechner, auf zwei Nachkommastellen gerundet.

✓ Antwort: 2.51
Es gilt 2⁵ = 32 < 100 < 243 = 3⁵, der Wert liegt zwischen 2 und 3. Der Taschenrechner liefert ⁵√100 ≈ 2,512, gerundet 2,51.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein würfelförmiger Behälter fasst 343 Liter (1 Liter = 1 dm³). Wie lang ist eine Kante in dm?

✓ Antwort: 7
Die Kante x löst x³ = 343 dm³. Wegen 7³ = 343 ist x = ³√343 = 7 dm.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Ein Programm potenziert die Eingabe mit 5 und zieht aus dem Ergebnis sofort die fünfte Wurzel. Was gibt es für die Eingabe 3,7 aus?

✓ Antwort: 3.7
Die fünfte Wurzel macht das Potenzieren mit 5 rückgängig: ⁵√(3,7⁵) = 3,7 (für positive Eingaben).
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Ein Würfel hat das Volumen 100 cm³. Berechne seine Kantenlänge in cm auf 0,1 cm genau.

✓ Antwort: 4.6
Die Kante löst x³ = 100. Wegen 4³ = 64 < 100 < 125 = 5³ liegt x zwischen 4 und 5, der Taschenrechner liefert ³√100 ≈ 4,64, also x ≈ 4,6 cm.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Ein Würfel hat das Volumen 216 cm³, ein zweiter Würfel 100 cm³. Bestimme die Kantenlänge des ersten Würfels und mache die Probe. Begründe für den zweiten Würfel mit zwei dritten Potenzen, zwischen welchen ganzen Zahlen seine Kante liegt, und gib sie auf 0,1 cm genau an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Erster Würfel: x³ = 216, also x = ³√216 = 6 cm; Probe 6³ = 216. Zweiter Würfel: y³ = 100. Wegen 4³ = 64 < 100 < 125 = 5³ liegt y zwischen 4 cm und 5 cm; ³√100 ≈ 4,64, also y ≈ 4,6 cm.
Das Volumen eines Würfels ist Kante hoch drei, die Kante ist also die dritte Wurzel des Volumens: ³√216 = 6 wegen 6³ = 216, und ³√100 liegt zwischen 4 und 5.